人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念同步测试题

6.1 平面向量的概念

1.[2022·湖北鄂州高一期中]下列关于零向量的说法正确的是(　　)

A．零向量没有大小

B．零向量没有方向

C．两个反方向向量之和为零向量

D．零向量与任何向量都共线

2．[2022·天津河北区高一期中]在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)

A．与共线    B．与共线

C．与相等    D．与相等

3．在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1的8个顶点中选2个点作为向量的始点和终点，则其中：与向量相反的单位向量共有________个，模长为的向量共有________个．

4．如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则

(1)与的模相等的向量有多少个？

(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与共线的向量．

5.(多选)[2022·安徽合肥六中高一期末]如下四个命题中，说法正确的是(　　)

A．向量的长度与向量的长度相等

B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

6．[2022·广东揭阳高一期末]设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是(　　)

A．a0＝b0    B．a0＝－b0

C．a0∥b0    D．＋＝2

7．[2022·山东菏泽高一期中]已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．

8．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)＝3，点A在点O北偏西45°方向；

(2)＝2，点B在点O正南方向．

9.如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△ABC的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，

(1)与向量相等的向量；

(2)与向量共线的向量；

(3)与向量平行的向量．

10．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．

(1)试作出向量，，；

(2)求.

11.[2022·浙江丽水高一期末]若a，b为非零向量，则“＝”是“a，b共线”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

12．在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD、BC的中点，如图．

(1)写出与向量共线的向量；

(2)求证：＝.

答案：

1．解析：根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；

零向量与任意向量共线，D正确．故选D.

答案：D

2．解析：因为AB与AC不平行，所以与不共线，A错；

因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故与共线，B正确；

因为AD与AE不平行，所以与不相等，C错；

因为＝＝－，则D错．故选B.

答案：B

3．解析：如图所示，

其中与相反的单位向量有，C1B1，D1A1，共3个；

∵正方体棱长为1，∴正方体体对角线长为，

∴模长为的向量有BD1，D1B，AC1，C1A，A1C，CA1，B1D，DB1，共8个．

答案：3　8

4．解析：(1)在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，所以AO＝OC，且AB∥DC，所以与的模相等的向量有，，三个向量．

(2)与的模相等且方向相反的向量为，.

(3)与共线的向量有，，.

5．解析：向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误，

选项D，也有可能直线AB与直线CD平行．故选AB.

答案：AB

6．解析：单位向量的模长为1，故＋＝2，D正确，

题中a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，故A，B，C错误，故选D.

答案：D

7．解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；

向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反，

又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，

则m＝0.

答案：0

8．解析：(1)∵＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：

(2)∵＝2＝，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径画圆，圆弧与OR的交点即为B点．

9．解析：(1)与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，′；

(2)与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，′，，，′；

(3)与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，′，，′.

10．解析：(1)建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．

(2)根据题意，向量与方向相反，故向量∥，又||＝||，

∴在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，故ABCD为平行四边形，

∴＝，则||＝||＝400(海里).

11．解析：依题意a，b为非零向量， 表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，

由＝可得a与b共线且同向，所以充分性成立；

a，b共线可能同向共线、也可能反向共线，所以a，b共线得不出＝，所以必要性不成立．故选B.

答案：B

12．解析：(1)据题意，与向量共线的向量为：，，，，，，，，，， ；

(2)证明：∵ABCD是平行四边形，且E，F分别为边AD，BC的中点，

∴BF＝ED，且BF∥ED，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE＝FD，且BE∥FD，

∴＝.