高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念优秀同步练习题

第六章平面向量及其应用

6.1　平面向量的概念

课后篇巩固提升

基础巩固

1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.

2.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　)

A.都相等 B.都共线 

C.都不共线 D.模都相等

答案D

解析因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.

3.

如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是 (　　)

A.

B.

C.

D.

答案B

解析向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量.

4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为 (　　)

A.平行四边形 B.矩形

C.菱形 D.等腰梯形

答案C

解析由知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.

5.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是 (　　)

A. B.

C.共线 D.

答案D

解析如图,∵方向相同,长度相等,∴选项A正确;

∵B,O,D三点在一条直线上,

∴,选项B正确;

∵AB∥CD,∴共线,

∴选项C正确;

∵方向不同,

∴,∴选项D错误.

6.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是(　　)

A.||=||

B.共线

C.共线

D.共线

答案C

解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此不一定与共线,C项错误.

7.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为　　　　　. 

答案

解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.

因为∠ACD=∠BCD=∠AED,

所以||=||.

因为△ADE∽△BDC,

所以,

故||=.

8.

如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:

(1)与相等的向量共有几个?

(2)与平行且模为的向量共有几个?

(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?

解(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).

(2)与向量平行且模为的向量共有24个.

(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.

能力提升

1.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:

①都是单位向量;

②;

③与相等的向量有3个;

④与共线的向量有3个;

⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.

其中正确的是　　　　　　　　.(填序号) 

答案①②④⑤

解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与相等的向量是,故③错误;④与共线的向量是,故④正确;⑤正确.

2.已知在四边形ABCD中,,且||=||,tan D=,判断四边形ABCD的形状.

解∵在四边形ABCD中,,

∴AB?DC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵tan D=,∴∠B=∠D=60°.

又||=||,∴△ABC是等边三角形.

∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形.

3.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.

(1)画出所有的向量;

(2)求||的最大值与最小值.

解(1)画出所有的向量如图所示.

(2)由(1)所画的图知,

①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值;

②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值.

∴||的最大值为,最小值为.