人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第4章指数函数与对数函数单元综合检测（Word版附解析）

第4章 指数函数与对数函数 单元综合检测

一、单选题

1．下列运算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误.

【解析】对于A，，所以，错误；

对于B，因为，所以，则，错误；

对于C，，正确；

对于D，，错误．

故选：C．

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数与对数函数的性质化简集合，再求交集与并集，进而可得答案.

【解析】因为，

所以，

因为，

∴，

∴，．

故选：B

【点睛】本题主要考查集合的交集与并集运算，考查了指数函数与对数函数的性质，属于基础题.

3．若在内为增函数，且也为增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性，列出不等式组求解，即可得出结果.

【解析】若在内为增函数，则，由为增函数得．

解不等式组，得的取值范围是．

故选：D.

【点睛】本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型.

4．如果方程的两根为、，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设条件利用根与系数的关系求出，直接变换即可求得答案.

【解析】解：由题意、是关于的方程的两根，

∴，∴，

故选：C．

【点睛】本题主要考查对数运算和根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题型.

5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可

【解析】由题意，因为，，

由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为

故选：C

6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则：

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数是上的偶函数，可以得到，由指数函数的性质可以得到，再利用函数在区间上的单调性即可得到答案．

【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，

又因为是上的增函数，所以，

由于函数在区间上是增函数，则,

即.

故答案为A.

【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于基础题．

7．函数的图像的大致形状是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.

【解析】根据

，

是减函数，是增函数.

在上单调递减，在上单调递增

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

8．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分段函数的定义作出函数的图象，然后可令（a）（b）（c）则可得，，即为函数与的交点的横坐标根据图象可得出，，的范围同时，还满足，即可得答案．

【解析】根据已知画出函数图象：

不妨设，

（a）（b）（c），

，

，

解得，，

．

故选：B

二、多选题

9．已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由于，然后分情况利用对数函数的单调性比较大小即可.

【解析】解：∵，

∴若，则，即．

∴，故A正确．

，故D正确．

若，则，

∴，，故BC错误，

故选：AD

【点睛】此题考查了对数函数的性质，属于基础题.

10．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对底数分情况讨论即可得答案.

【解析】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．

当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．

故选：BC

【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.

11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】因为是偶函数，化简，，．再利用在上单调递增，得解

【解析】因为是偶函数，

所以，

，

．

因为，

，所以．

因为在上单调递增，

所以．

所以．

故选：AC

【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性比较函数值大小，属于基础题.

12．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）．

A．的图象可由的图象平移得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．不等式的解集是

【答案】ABC

【分析】由可知A正确；设，证明即可判断B；设，证明即可判断C；利用指数函数的单调性解不等式，分类讨论不等式的解，即可判断D.

【解析】对于A，因为，所以的图象可由的图象平移得到，所以A正确；

对于B，设，则，

，因为，

所以的图象关于直线对称，B正确；

对于C，设，则，

，因为，

所以的图象关于点对称，所以C正确；

对于D，由，得，化为，，若，则；若，则，所以D错误．

故选：ABC

【点睛】本题考查指数与指数函数、函数的基本性质，属于中档题.

三、填空题

13．的值域是______

【答案】

【分析】令t＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，根据二次函数的性质可得t≥﹣4，结合指数函数的图象和性质，可得y∈（0，16]．

【解析】令t＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

则t≥﹣4，

则y16，

又∵y0，

故函数y的值域是（0，16]，

故答案为（0，16]

【点睛】本题考查的知识点是指数函数的定义域，解析式，值域，二次函数的图象和性质，是二次函数和指数函数的综合应用，难度中档．

14．若函数f(x)= (且)有两个零点，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】试题分析：令，则，当时，为减函数，为增函数，至多只有一个交点，不符合题意.当时，的图像显然有两个交点，故.

考点：函数的单调性，函数图象与性质.

【思路点晴】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图象为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数.对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为，真数大于零．数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本题的一突出特点．

15．若不等式(m2－m)2x－()x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．

【答案】－2<m<3

【分析】根据指数函数的性质，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题即可．

【解析】解：（m2﹣m）2x1对一切x∈（﹣∞，﹣1]恒成立等价为

（m2﹣m）2x1，

即（m2﹣m）（）2，

∵x∈（﹣∞，﹣1]，

∴

即（）26，

即（m2﹣m）＜6，

则m2﹣m﹣6＜0，

解得﹣2＜m＜3，

故答案为﹣2＜m＜3

【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用指数函数的性质将参变分离是解决本题的关键．

16．已知函数（且）在上的值域是.若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】首先根据对数型函数的单调性及值域可求出的值，再结合指数函数图象平移即可得的取值范围.

【解析】函数（且）在上的值域是

当时，单调递减

∴，无解

当时，单调递增，

∴，解得，

∵的图象不经过第一象限，∴

解得，即的取值范围是，

故答案为.

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

四、解答题

17．求值：

(1)

(2)

【答案】(1)19

(2)．

【分析】根据指数、对数的运算法则，指对的互化，根式的运算法则运算即可.

（1）

（2）

18．已知函数．

（1）作出函数的图象；

（2）若，且，求证：．

【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先根据绝对值定义化函数为分段函数形式，再作图；

（2）先根据函数单调性确定，再根据与1大小分类证明不等式.

【解析】（1），其图象如图所示．

（2）由图知， 在上是减函数，在上是增函数，

故结合条件知必有．

若，则，，所以；

若，则由，得，

即，所以．

综上知，总有．

【点睛】本题考查函数图象、证明不等式，考查综合分析论证能力，属中档题.

19．已知函数．

(1)求函数的解析式及定义域；

(2)求函数在时的值域．

【答案】(1)，的定义域为

(2)

【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.

（2）结合的取值范围来求得在时的值域．

（1）

对于，需；对，需；

则，

令，则，，

，

所以，即的定义域为.

（2）

当时，，

.

当时，，

.

所以在时的值域为.

20．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？

【答案】乙选择的模型较好.

【分析】由二次函数为，利用待定系数法求出解析式,计算时的函数值;再求出函数的解析式,计算时的函数值,最后与真实值进行比较，可决定选择哪一个函数式好.

【解析】依题意，得，

即，解得

∴甲：，

又，

，

,

将代入④式，得

将代入①式，得， ∴乙：

计算当时，；

当时，；

当时，.

可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好.

【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题

21．已知函数，常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；单调增区间为，；（2）.

【解析】（1）时，，求其定义域，计算即可.

（2）将不等式整理为，，只需要.利用单调性即可求出，进而可得.

【解析】（1）证明：当时，.

的定义域为.

当时，

.

∴，

∴是奇函数，

是由和复合而成，

单调递减，

在 和单调递减，

所以在 和单调递增，

所以的单调增区间为，.

（2）由，

得，

令，

若使题中不等式恒成立，只需要.

由（1）知在上是增函数，单调递减，

所以在上是增函数，

所以.

所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.

22．已知函数，，.

(1)求函数在区间上的最小值；

(2)求函数在区间上的最大值；

(3)若对，，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)最小值为4；

(2)答案见解析；

(3).

【分析】（1）通过基本不等式即可求得答案；

（2）设，将函数转化为，然后讨论函数对称轴与区间端点的大小关系，进而求出函数的最大值；

（3）将问题转化为，然后结合（2）求得答案.

（1）

当时，，所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以，函数在区间上的最小值为4.

（2）

，，令，则上述函数化为，.

因为，所以对称轴，当，即时，函数在上单调递减，所以当时，；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以；

当，即时，函数在上单调递增，所以.

综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为.

（3）

对，，使得成立，等价于成立，即，由（1）可知，当时，，因此，只需要.

所以当时，，解得，所以；

当时，，解得或，所以，；当时，，解得，此时解集为空集；

综上，实数m的取值范围为.

23．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.

(1)若满足性质，且，求的值；

(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）

(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；

（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；

（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.

(1)

因为满足性质，

所以对于任意的x，恒成立.

又因为，

所以，，

，

由可得，

由可得，

所以，.

(2)

若正数满足，等价于，

记，

显然，，

因为，所以，，即.

因为的图像连续不断，

所以存在，使得，

因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.

(3)

若，则1即为零点；

因为，若，则，矛盾，故，

若，则，，，

可得.

取即可使得，又因为的图像连续不断，

所以，当时，函数在上存在零点，

当时，函数在上存在零点，

若，则由，可得，

由，可得，

由，可得.

取即可使得，又因为的图像连续不断，

所以，当时，函数在上存在零点，

当时，函数在上存在零点，

综上，函数存在零点.