数学必修 第一册5.1 任意角和弧度制随堂练习题

5.1 任意角和弧度制

一、单选题

1．在0°到范围内，与终边相同的角为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据终边相同角的概念判断即可；

【解析】解：因为，所以在0°到范围内与终边相同的角为；

故选：B

2．将化为的形式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.

【解析】由知.

故选：B.

3．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（    ）

A．第一象限角一定不是负角

B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

C．第二象限角必大于第一象限角

D．钝角的终边在第二象限

【答案】D

【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.

【解析】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；

三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；

α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；

钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．

故选：D．

4．已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解.

【解析】解：因为角的终边与的终边重合，

所以，，所以，，

令，则，此时的终边位于第二象限；

令，则，此时的终边位于第三象限；

令，则，此时的终边位于第四象限．

所以的终边不可能在第一象限，

故选：A．

5．下列结论错误的是（    ）

A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°

C．化成弧度是 D．化成度是15°

【答案】A

【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.

【解析】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D正确．

故选：A

6．若，，则角与角的终边一定（    ）

A．重合 B．关于原点对称

C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

【答案】C

【分析】根据角与角的终边关于x轴对称即可得解.

【解析】解：因为角与角的终边关于x轴对称，所以角与角的终边一定也关于x轴对称．

故选：C

7．已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令即可判断出正确选项.

【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.

故选：B．

8．已知下列四组角的表达式(各式中)

与；与；与；与，

其中表示具有相同终边的角的组数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用特值排除（1），利用终边判断（2），（3），（4）

【解析】对（1），当，不存在与之对应，不正确；

对（2），表示终边在y轴上的角，表示终边在坐标轴y轴正半轴的角；不正确；

对（3），表示终边在y轴上的角，正确

对（4），表示 终边在x轴负半轴的角；表示终边在x轴上的角, 不正确；

故选B

【点睛】本题考查终边相同的角的判断，是基础题

9．终边在第一、四象限的角的集合可表示为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】终边在第一、四象限的角的集合，显然A、B不正确，对于C，包含x正半轴，不合题意，D中，表示第一象限的角的集合，表示第四象限的角的集合，正确．故选D．

10．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　)

A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅

【答案】C

【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得．

【解析】由题意可

即为的奇数倍构成的集合，

又，即为的整数倍构成的集合，，

故选C．

【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．

11．如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角，经过2秒钟点在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为　　

A． B． C．或 D．无法确定

【答案】C

【分析】经过2秒钟后点转过角，推导出，从而．再由，能求出．

【解析】秒钟时间点转过角．

经过2秒钟后点转过角，

又2秒钟后点在第三象限．，

．

又经过14秒钟，点与最初位置重合．

．

又，或，或．

故选：C．

【点睛】本题考查角的大小的求法、象限角的定义等基础知识，考查运算求解能力．

12．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.

【解析】解：如图，连接，

因为是的中点，

所以，

又，所以三点共线，

即，

又，

所以，

则，故，

所以.

故选：B.

二、多选题

13．下列命题正确的是（    ）

A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为

B．终边落在y轴上的角的集合为

C．第三象限角的集合为

D．在范围内所有与角终边相同的角为和

【答案】AD

【分析】根据任意角的定义判断即可.

【解析】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为故A正确.

终边落在y轴上的角的集合为属于角度制和弧度制的混用，故B错误.

第三象限角的集合为不能取等号，等号时表示轴线角，故C错误.

范围内所有与角可以表示为，故或，故D正确.

故选：AD

14．下列说法正确的有（    ）

A．与的终边相同

B．小于的角是锐角

C．若为第二象限角，则为第一象限角

D．若一扇形的中心角为，中心角所对的弦长为，则此扇形的面积为

【答案】AD

【分析】利用终边相同的角的概念可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断BC选项的正误；利用扇形的面积公式可判断D选项的正误.

【解析】对于A选项，因为，所以，与的终边相同，A对；

对于B选项，不是锐角，B错；

对于C选项，取，则为第二象限角，但为第三象限角，C错；

对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，

因此，该扇形的面积为，D对.

故选：AD.

15．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，周长为L，则（    ）

A．若，r确定，则L，S唯一确定

B．若，l确定，则L，S唯一确定

C．若S，L确定，则，r唯一确定

D．若S，l确定，则，r唯一确定

【答案】ABD

【解析】根据弧长、周长及扇形面积公式计算可得；

【解析】解：依题意可得，，

对于A：若、确定，显然，唯一确定，故A正确；

对于B：若、确定，由，则确定，所以，唯一确定，故B正确；

对于C：若、确定，则， 与需要解三次方程，所以、不唯一确定，故C错误；

对于D：若、确定，则， 即可唯一的求出与，所以、唯一确定，故D正确；

故选：ABD

16．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（    ）

A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3

B．经过 s后，扇形AOB的弧长为

C．经过s后，扇形AOB的面积为

D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇

【答案】ABD

【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.

【解析】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；

经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；

经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；

设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

17．点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为__．

【答案】（，）

【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点Q的坐标．

【解析】如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，

则∠xOQ，∴Q点坐标为（cos，sin），

即（，）．

故答案为：．

18．在集合中，属于之间的角的集合是________．

【答案】##

【分析】令即得解.

【解析】解：当时，在之间，满足题意；

当时，在之间，满足题意.

当取其它整数时，均不满足题意.

∴属于之间的角的集合是．

故答案为：

19．已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=_____．

【答案】﹣960°．

【解析】试题分析：α与120°角终边相同，可表示为α=k•360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．

解：α与120°角终边相同，∴α=k•360°+120°，k∈Z．

∵﹣990°＜k•360°+120°＜﹣630°，

∴﹣1110°＜k•360°＜﹣750°．又k∈Z，

∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．

故答案为﹣960°．

点评：本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．

20．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积）

【答案】

【解析】扇形半径扇形面积等于，弧田面积圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算，得．∴，按照弧田面积经验公式，计算结果比实际少 平方米．故答案为．

四、解答题

21．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【答案】(1)弧度

(2)π弧度

(3)弧度

(4)

(5)

(6)

【分析】利用弧度即可得出，即角度化弧度乘以，弧度化角度乘以，需注意单位为度．

(1)

解：弧度弧度，

(2)

解：弧度弧度，

(3)

解：弧度弧度．

(4)

解：弧度，

(5)

解：弧度，

(6)

解：弧度．

22．将下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】（1），第三象限；

（2），第一象限；

（3），第一象限；

（4），第三象限．

【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.

【解析】（1），因为的角终边在第三象限，所以是第三象限角；

（2），因为的角终边在第一象限，所以是第一象限角；

（3），因为的角终边在第一象限，所以是第一象限角；

（4），因为的终边在第三象限，所以是第三象限角.

23．已知集合，集合，求．

【答案】

【分析】根据角的范围将其表示在平面直角坐标中，然后根据交集概念求解出的结果.

【解析】在平面直角坐标系中表示出角的范围如下图：

由图可知：.

24．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．

【答案】（1）；

（2）；

（3）．

【分析】将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.

【解析】对图（1），可看作范围内的角，结合任意角概念，可表示为；

对图（2），可看作范围内的角，结合任意角概念，可表示为；

对图（3），可看作由的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为．

25．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.

（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；

（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；

（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.

【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.

【分析】（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解；

（2）扇形周长，可得，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．

（3）依题意，则，则在利用基本不等式计算可得；

【解析】解：（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；

（2）扇形周长，

，

．

当且仅当，即时，扇形面积有最大值．

（3）扇形的面积，所以

所以当且仅当即时周长取得最小值

26．已知角的集合为，回答下列问题：

(1)集合M中有几类终边不相同的角？

(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

(3)求集合M中的第二象限角．

【答案】(1)四类

(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°

(3)，

【分析】集合M中的角分为第一、二、三、四象限的四类终边不相同的角；

取适当的整数即可得到指定范围内的角；

找到集合中的一个第二象限角，写出与它终边相同的角即可.

（1）

集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．

（2）

令，得，

又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，

分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．

（3）

集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，

所以，.

27．已知，，，．

(1)将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；

(2)将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角．

【答案】(1)，第二象限；，第一象限

(2)，和；，

【分析】（1）直接将角度转化成弧度表示即可；通过周期公式化简，可求出终边对应象限；

（2）将弧度转化成角度即可；通过任意角概念给赋值，求出在内对应角即可.

（1）

由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得

，

．

又由，所以与角的终边相同，所以终边位于第二象限；

，所以与角的终边相同，所以终边位于第一象限；

（2）

根据角度制与弧度制的互化公式，可得，．

根据终边相同角的表示，可得与终边相同的角为，，当时，；当时，．

与终边相同的角为，，

当时，．

因此，在内，与终边相同的角是和，与终边相同的角是．

28．已知集合，，.

（1）若，且角与的终边垂直，求；

（2）求.

【答案】（1）或或或0或；（2）.

【分析】（1）由与终边垂直求，再根据求出具体的,即可；

（2）分别取值化简，再由交集运算得答案．

【解析】解：（1）由与终边垂直，

可得，或，

即，或，．

①由，得，

，

或．

②由，得，

，

或0．

所有的为：或或或0或；

（2），，

当时，，

当时，，

当时，，

又．

,,,．

29．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.

（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；

（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.

【答案】（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.

【分析】（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；

（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.

【解析】（1），则，，

在扇形中，的长为，

所以，

同理，.

∵与无重叠，∴，即，则.

又三个扇形都在三角形内部，则，∴.

（2）∵，

∴

，

∴当时，取得最大值，为.

故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.

【点睛】弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径和扇形圆心角弧度数，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.