专题01 二次根式 教材同步讲练-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）
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知识点1-1 二次根式的概念
1）二次根式：形如（a≥0）叫做二次根式
注：①表示的是算术平方根 ；②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算
③“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略
例1．（2021·河南九年级期末）在式子，，，，，中二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（2021·辽宁）下列式子中，一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖北八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·浙江）当时，二次根式的值为____．
变式3．（2021·浙江八年级期中）当时，二次根式的值等于______．
知识点1-2 二次根式有意义的条件
1）二次根式（）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0）
注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式
② 不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负
例1．（2021·平泉市教育局教研室八年级期末）若有意义，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·北京市第十九中学八年级期中）当________时，二次根式有意义．
变式2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）函数中自变量x的取值范围是________．
例2．（2021·重庆市育才中学八年级期末）要使等式＝0成立的x的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．以上都不对
变式3．（2020·浙江杭州市·八年级模拟）若成立．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2021·广东八年级专题练习）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
例3．（2021·重庆七年级期中）若x、y都是实数，且，则xy的值为（ ）
A． B．2 C．－ D．不能确定
变式5．（2021·上海市文来中学七年级期中）x，y，z适合关系式：，求m-4的平方根．
变式6．（2021·浙江宁波市·八年级期中）若，则________．
例4．（2021·湖南雨花新华都学校八年级月考）若，则_________．
变式7．（2021·全国初二单元测试）已知a满足＋＝a，则a－2 0182＝( )
A．0 B．1 C．2 018 D．2 019
变式8．（2021·浙江温州市·八年级期中）已知，则2x﹣18y2＝_____．
知识点1-3 二次根式的性质
1）性质一：二次根式结果非负性，即≥0（a≥0） 注：“”表示的是算术平方根
2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；=a。 （隐含条件：a大于等于0）
3）性质三：= 性质三即性质二的一般形式，必须同时符合性质一（非负性）
注：（）2与的区别 ：（）2隐含a≥0的条件，结果为a；中a可正可负，结果为
例1．（2021·广州市南武中学八年级期中）计算：__________．
变式1．（2021·潍坊市寒亭区高里街道中心学校八年级期末）计算：________．
变式2．（2020·江苏沭阳初二期末）下列说法正确的是（ ）
A．若＝﹣a，则a＜0 B．若＝a，则a＞0 C．＝a2b4 D．3的平方根是
例2．（2020·浙江初二期末）若则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）已知，则a的取值范围________．
变式4．（2021·四川武外八年级月考）若，则__________．
例3．（2021·浙江杭州市·八年级月考）实数、在数轴上的位置，化简______．
变式5．（2021·朔州市七年级期中）（1）计算 ； ； ； ，
（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．
（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ．
变式6．（2021·郁南县初二月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
变式7．（2021·江苏泰州市·九年级期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
变式8．（2021·湖北八年级期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是___．
例4．（2021·南通市启秀中学八年级月考）把根号外的因式移入根号内，结果为( )
A． B． C． D．
变式9．（2020·平南县八年级月考）已知，化简，的结果为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2021·深圳布心中学初二期中）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
知识点1-4二次根式的乘法法则
1）二次根式乘法法则：=（a≥0，b≥0） 扩展：=（a≥0，b≥0，c≥0）
2)积的算术平方根：=（a≥0，b≥0）
积的算术平方根是二次根式乘法的逆运算，常用在化简当中。如：==3
注：若a≤0且b≤0，则=。
例1．（2021·四川绵阳市·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
变式1．（2021·河北省临西县第一中学）计算的结果是________．
变式2．（2021·天津津南·八年级期中）计算的结果等于__________．
例2．（2021·新疆八年级期末）计算：（1））；（2）2．
变式3．（2021·辽宁九年级期中）计算题：（1）（2）
变式4．（2021·重庆字水中学九年级三模）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间．
例3．（2021·福建八年级期中）若一个长方形的长为，宽为，则它的面积为______
变式5．（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算：________．
例4．（2021·杭州市建兰中学八年级期中）我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
变式6．（2021·山东八年级期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
例5．（2020·江苏南通田家炳中学）因为，所以
因为，所以
因为，所以
请你根据以上规律，结合你的经验化简：
（1）= ；（2）= ；（3）= ；（4）= ．
变式7．（2021·宁波市鄞州八年级期末）化简_______．
知识点1-5 二次根式的除法
1) 二次根式的除法法则：
注：①的前提条件是a≥0，b＞0；②当存在带分数时，应先化成假分数，再进行计算。
2)商的算术平方根：（a≥0，b＞0）。商的算术平方根是二次根式除法的逆运算，常用在化简当中。
注：若a≤0且b＜0，则。
例1．（2021·河南南阳市·九年级期末）计算：______．
变式1．（2021·平泉市教育局教研室八年级期末）计算：，则□中的数是（ ）
A．6 B． C．2 D．
变式2．（2021·平凉市崆峒区教育科学研究所八年级期末）计算：．
变式3．（2021·湖北宜昌市·九年级期中）计算的结果为______．
例2．（2021·广东东莞·八年级期末）已知矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若S＝，a＝，则b＝______．
变式4．（2021·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．4
例3．（2021·上海浦东新区·八年级期中）当时，化简 ________．
变式5．（2021·上海市洛川学校八年级期中）计算：______．
例4．（2021·福建莆田·）分母有理化：＝______．
变式6．（2021·浙江八年级期中）实数的整数部分为__．
例5．（2021·江苏八年级期末）比较大小：__________（填写“”或“”或“”））
变式7．（2021·广东八年级专题练习）阅读下列解题过程：
＝＝；
＝＝；
＝＝＝2﹣；…则：
（1）＝ ；＝ ；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝ ；
（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．
变式8．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）像（＋2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（＋1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，＋1与﹣1，2＋3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）化简：；（2）计算： ；（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
例6．（2021·湖北八年级期中）观察下列各式＝，＝，＝2﹣，请利用你发现的规律计算：＝___ ．
变式9．（2021·江西）阅读下面问题：；
；．
试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值．
（3）计算：．
变式10．（2021·山东八年级期中）阅读下列解题过程：﹣1；则：
（1） ； ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式 ；
（3）利用这一规律计算：的值．
知识点1-6 最简二次根式与同类二次根式
1)规定最简二次根式：①被开方数不含能开方得尽方的因数（式子）。如；②分母中不含被开方数。
③分母中含被开方数转化为整式。
注：分母中的被开方数去掉后，要注意分子二次根式是否还能被开方。
2）分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤：①分母、分子同乘（分母的二次根式）；②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方；③化简为最简二次根式
3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
例1．（2021·龙口市教学研究室八年级期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·四川省绵阳外国语学校八年级期中）在下列根式：5，，，中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2021·黑龙江八年级期末）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2021·山东八年级期中）在，中，与是同类二次根式的是________．
变式3．（2021·四川九年级期末）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2021·广东广州市·八年级期中）若与最简二次根式可以合并，则实数的值是_______．
例3．（2021·莆田擢英中学八年级期中）将化成最简二次根式为_____．
变式5．（2021·吉林八年级期末）二次根式（x、y均为正数）化成最简二次根式，结果为________．
知识点1-7 二次根式的加减运算
1）二次根式的加减：先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行相加减
分析：①在进行二次根式加减运算时，要化简为最简二次根式
②类似于同类项合并。二次根式加减运算也是合并同类最简二次根式
③不是同类二次根式不能合并
注：+是可以合并的，因为不是最简二次根式，化简为二次根式为2，所以+=+=
例1．（2021·北京市第十九中学八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2020·江苏八年级月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
例2．（2021·广州市南武中学八年级期中）（1）5﹣﹣；（2）（4﹣6）+2．
变式3．（2021·广西河池市·八年级期中）计算：．
变式4．（2020·河北省中考真题）已知：，则_________．
例3．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的面积为________．
变式5．（2021·平泉市教育局教研室八年级期末）一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．甲、乙两名同学说的都对 D．无法判断
变式6．（2020·浙江宁波市·七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
知识点1-8 二次根式的混合运算
与整式的混合运算一样（二次根式是一种特殊的整式）即先乘方，后乘除，最后加减，同级从左至右运算
例1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．＋＝ B．－＝－1 C．×＝ D．÷＝
变式1．（2021·北京顺义区·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·江西吉安市·八年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·河南濮阳市·八年级期中）计算下列各题
（1） （2）
变式3．（2021·五常市教师进修学校八年级期末）计算：
（1） （2）
变式4．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）计算：．
例3．（2020·湖北省中考真题）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．
A． B． C． D．
变式5．（2020·湖南省中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2 | ||
1 |
| 6 |
| 3 |
变式6．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）如为实数，在“□”的“□”中添
上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（ ）
