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专题01 勾股定理 教材同步讲练-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）
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专题01 勾股定理 教材同步讲练
1.1认识勾股定理
1)为什么叫勾股定理？
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家，有毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。
这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》 （公元前1000年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
2）勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误
例1．（2021·山西石楼中学八年级月考）在中，，，的对应边分别是，，，若，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2020·江苏省南京市初二期中）下列说法中正确的是（ ）
A．已知，，是三角形的三边长，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在中，若，则
D．在中，若，则
例2．（2021·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2020·四川武外）如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
例3．（2021·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________．
变式3．（2021·江苏九年级一模）如图，等边中，，点是边上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
变式4．（2021·广西八年级期末）如图，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______．
例4．（2021·云南八年级期末）如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
变式5．（2021·陕西八年级期中）如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：，那么、两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2021·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
例5．（2021·云南昭通市·八年级期中）在中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
变式7．（2021·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（ ）
A．14 B．14或4 C．4 D．无法确定
1.2勾股定理的验证
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”的证法。
在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明(下图)。（证明过程见例1）
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。
例1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
变式1．（2021·山西八年级期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理
例2．（2020·河南平舆初二期中）如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.
(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.
变式2．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．
将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2．
例3．（2021·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：
（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
（探索新知）从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（初步运用）（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
（迁移运用）如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
变式3．（2021·河北八年级期末）勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
例4．（2020·江苏南京初二期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
变式4．（2021·行唐县实验中学八年级月考）勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．
知识点1.5 命题与定理
1）互逆命题：在两个命题中，如果-一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
例1．（2021秋•瑞安市期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果那么”的形式 ．
变式1.（2021•三门峡期末）如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F．请以其中两个条件为条件，第三个条件为结论构造新的命题．
（1）请写出所有的命题；（数学中的命题通常可以写成“如果…那么…”的形式）
（2）请选择其中的一个真命题进行证明．
例2.（2021•德惠市期末）写出“对顶角相等”的逆命题 ．
变式2．（2021·北京门头沟区·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
例3．（2021·浙江宁波市·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
变式3．（2020·陕西西安市·八年级期末）下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．全等三角形的对应角相等
知识点1.4 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
2）勾股定理逆定理的证明：
如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。
过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。
根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0
∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形
例1．（2021·江苏八年级期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
变式1．（2021·福建福州·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2
C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
例2．（2021·天津八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．
例3．（2020·成都市初二期中联考）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元
变式3．（2021·山东七年级期末）年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
例4．（2020·河南内乡初二期末）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.（结果保留整数）
变式4．（2021·湖北八年级期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．
例5．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．（2）直接写出四边形ABCD的面积
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
变式5．（2021·河北张家口市·八年级期末）如图，网格中的，若小方格边长为，请你根据所学的知识，（1）判断是什么形状？并说明理由；（2）求的面积．
例6．（2021·南宁市第八中学八年级月考）如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．
变式6．（2021·福建八年级期末）如图，在中，，，是上一点，，．
（1）求证：；（2）求的长．
例7．（2021·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
变式7．（2021·安徽九年级）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
知识点1.5 勾股数与勾股定理的应用
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；
注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，如：4,6,8等。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。
例1．（2021·湖北八年级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41
变式1．（2021·贵州遵义市·八年级期末）下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）
A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9
例2．（2021·广西八年级期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．16 B．17 C．25 D．64
变式2．（2020·北京昌平初二期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
例3．（2021·河南八年级期末）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 ， ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
变式3．（2021·厦门市松柏中学八年级期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
例4．（2021·安阳市第十中学八年级期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了__________米．
变式4．（2021·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．
例5．（2021·广州市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2020·河南南阳22中八年级月考）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）．
A． B． C． D．
例6．（2021·山东八年级期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？
变式6．（2021·安徽八年级期中）如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
例7．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
变式7．（2021·成都市八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
例8．（2021·江西八年级期末）如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高3cm，盒底周长为8cm，盒外一只蚂蚁在底部处，想吃到盒内对侧处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是_______cm．
变式8．（2021·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
专题01 勾股定理 教材同步讲练
1.1认识勾股定理
1)为什么叫勾股定理？
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家，有毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。
这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》 （公元前1000年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
2）勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误
例1．（2021·山西石楼中学八年级月考）在中，，，的对应边分别是，，，若，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2020·江苏省南京市初二期中）下列说法中正确的是（ ）
A．已知，，是三角形的三边长，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在中，若，则
D．在中，若，则
例2．（2021·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2020·四川武外）如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
例3．（2021·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________．
变式3．（2021·江苏九年级一模）如图，等边中，，点是边上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
变式4．（2021·广西八年级期末）如图，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______．
例4．（2021·云南八年级期末）如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．
变式5．（2021·陕西八年级期中）如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：，那么、两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2021·山东八年级期中）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．
例5．（2021·云南昭通市·八年级期中）在中，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
变式7．（2021·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（ ）
A．14 B．14或4 C．4 D．无法确定
1.2勾股定理的验证
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”的证法。
在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明(下图)。（证明过程见例1）
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。
例1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
变式1．（2021·山西八年级期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理
例2．（2020·河南平舆初二期中）如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.
(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.
变式2．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．
将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2．
例3．（2021·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：
（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
（探索新知）从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（初步运用）（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
（迁移运用）如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
变式3．（2021·河北八年级期末）勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
例4．（2020·江苏南京初二期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
变式4．（2021·行唐县实验中学八年级月考）勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．
知识点1.5 命题与定理
1）互逆命题：在两个命题中，如果-一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
例1．（2021秋•瑞安市期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果那么”的形式 ．
变式1.（2021•三门峡期末）如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F．请以其中两个条件为条件，第三个条件为结论构造新的命题．
（1）请写出所有的命题；（数学中的命题通常可以写成“如果…那么…”的形式）
（2）请选择其中的一个真命题进行证明．
例2.（2021•德惠市期末）写出“对顶角相等”的逆命题 ．
变式2．（2021·北京门头沟区·八年级期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
例3．（2021·浙江宁波市·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
变式3．（2020·陕西西安市·八年级期末）下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．全等三角形的对应角相等
知识点1.4 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
2）勾股定理逆定理的证明：
如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。
过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。
根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0
∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形
例1．（2021·江苏八年级期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
变式1．（2021·福建福州·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2
C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
例2．（2021·天津八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．
例3．（2020·成都市初二期中联考）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元
变式3．（2021·山东七年级期末）年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
例4．（2020·河南内乡初二期末）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.（结果保留整数）
变式4．（2021·湖北八年级期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．
例5．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．（2）直接写出四边形ABCD的面积
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
变式5．（2021·河北张家口市·八年级期末）如图，网格中的，若小方格边长为，请你根据所学的知识，（1）判断是什么形状？并说明理由；（2）求的面积．
例6．（2021·南宁市第八中学八年级月考）如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．
变式6．（2021·福建八年级期末）如图，在中，，，是上一点，，．
（1）求证：；（2）求的长．
例7．（2021·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
变式7．（2021·安徽九年级）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段分割成AM、MN、NB，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长.
知识点1.5 勾股数与勾股定理的应用
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；
注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，如：4,6,8等。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。
例1．（2021·湖北八年级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41
变式1．（2021·贵州遵义市·八年级期末）下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）
A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9
例2．（2021·广西八年级期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（ ）
A．16 B．17 C．25 D．64
变式2．（2020·北京昌平初二期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
例3．（2021·河南八年级期末）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 ， ；
（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
变式3．（2021·厦门市松柏中学八年级期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
例4．（2021·安阳市第十中学八年级期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了__________米．
变式4．（2021·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．
例5．（2021·广州市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2020·河南南阳22中八年级月考）如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（ ）．
A． B． C． D．
例6．（2021·山东八年级期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？
变式6．（2021·安徽八年级期中）如图，A村和B村在河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
例7．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
变式7．（2021·成都市八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
例8．（2021·江西八年级期末）如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高3cm，盒底周长为8cm，盒外一只蚂蚁在底部处，想吃到盒内对侧处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是_______cm．
变式8．（2021·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
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