21二次根式材料阅读探究大题专题（重难点培优）九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】(无答案）

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二次根式材料阅读探究大题专题1．（2020春•越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．（1）用二次根式表示点P与点A的距离；（2）当x＝4，y时，连接OP、PA，求PA+PO；（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求的值．    2．（2019春•庐阳区校级期中）观察下列等式：①3②4③5……（1）写出式⑤：　                　；（2）试用含n（n为自然数，且n≥1）的等式表示这一规律，并加以验证．    3．（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　       　，b＝　       　；（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4　       　．（3）请化简：    4．（2020春•昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：7，7，不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．    5．（2020春•霍邱县期末）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：　                　；（2）写出你猜想的第n个等式：　                　（用含n的等式表示），并证明其正确性．      6．（2020秋•三水区校级期中）在解决问题：“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”．∵a1，∴a﹣1∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：；（2）若a，求2a2﹣12a﹣1的值．    7．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：设ab＝（mn）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分ab的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　       　，b＝　       　；（2）若a+4（mn）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．      8．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化简：，则需计算1，而1，所以11．（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：如果b1，求a+b的值；（3）利用②中的结论，计算：．    9．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，．因为，所以．再例如：求y的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较34和2的大小；（2）求y的最大值．  10．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，．因为，所以，．再例如，求y的最大值、做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2．利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较和的大小；（2）求y3的最大值．   11．（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4的有理化因式可以是　             　，分母有理化得　             　．（2）计算：①已知x，求x2+y2的值；②．  12．（2020秋•碑林区校级月考）在解决问题“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a1，∴a﹣1，∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：．（2）若a，求2a2﹣12a+1的值．     13．（2020春•曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，7+4．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将分母有理化得　                　；1的有理化因式是　                　；（2）化简：　                　；（3）化简：．     14．（2019秋•渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如当x时，求的值．为解答这题，若直接把x代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一：将条件变形，因x，得x﹣1．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式（x3﹣2x2﹣2x）+2[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2[x（x﹣1）2﹣3x]+2（3x﹣3x）+2＝2．方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3的值；（2）已知x，求的值．    15．（2019春•西湖区校级月考）在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：；（2）若，求代数式a（a﹣1）的值．  16．（2019•滦南县一模）在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a2∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a，求3a2﹣6a﹣1的值．      17．（2020春•庐江县期末）观察下列等式：回答问题：①11    ②11③11，…（1）根据上面三个等式的信息，猜想　                　；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；（3）验证你的结果．        18．（2019秋•淮阳区校级月考）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a”有不同的解答．甲的解答是：aa；乙的解答是aa（1）填空：　 　的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简        19．（2020秋•榆林月考）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，化简：①②（2）利用上面提供的解法，请计算：．        20．（2019秋•青岛期中）我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样m，，那么便有：，问题解决：化简，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即（7，，∴模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．   21．（2019秋•永安市期中）阅读下列解题过程：1；；；…则：（1）　               　；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子　               　；（3）利用这一规律计算：（）（1）的值   22．（2021春•安宁市校级期中）阅读下面问题：；；．试求：（1）求　                　；（2）当n为正整数时　                　；（3）的值．       23．（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：2，验证：2；3，验证：3 （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．         24．（2018春•五莲县期中）小明在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a2，∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简（2）若a，①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝　 　；2a2﹣5a2＝　 　．     25．（2018秋•新罗区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　       　，b＝　       　；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　       　+　       　（　       　+　       　）2；（4）化简：　       　．  26．（2019春•西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　       　，b＝　       　．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　       　+　       　（　       　+　       　）2；（3）化简      27．（2019春•南丹县期末）阅读下面问题：1； 2，根据以上解法试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值（3）的值．     28．（2019秋•浦东新区校级月考）观察下面的式子：S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1（1）计算：　              　，　              　；猜想　              　（用n的代数式表示）；（2）计算：S（用n的代数式表示）．            29．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，，，，（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．         30．（2019秋•凤翔县期中）阅读下列解题过程：2；．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子　                　；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子　                　；（3）利用上面所提供的解法，请求的值．