初中数学华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试单元测试一课一练

华师大版初中数学九年级上册第21章《二次根式》单元测试卷

考试范围：第21章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则的取值范围是    (    )

A.  B.  C.  D.

4. 若实数、满足等式，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列各组二次根式中，不可以合并的是(    )

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

10. 下列各式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

12. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若式子有意义，则的取值范围是______．
14. 已知是正整数，是整数，则的最小值为______．
15. 化简______．
16. 已知：，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如果一个三角形的三边长分别为、、，请化简．
18. 计算：．
19. 先阅读材料，再解决问题：
    已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算．例如：求点到直线的距离．
    解：由直线可知，所以点到直线的距离为．
    请解决以下问题：
    点到直线的距离是______；
    若点到直线的距离为，求实数的值；
    已知直线与互相平行，求这两直线之间的距离．
20. 先化简再求值：，然后选一个你喜欢的值代入求值．
21. 老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．
    小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以，得到的值，再利用完全平方公式求出．
    参考小明的思路，解决下列问题：
    已知，求的值；
    已知，求的值．
22. 在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
    ，，，
    ，．
    请你根据小军的解题过程，解决如下问题，
    ______；
    若，求的值．
23. 已知，，求的值．
24. 计算；
    先化简，再求值：，其中．
25. 三角形的周长为，面积为，已知两边的长分别为和，求：第三边的长；
    第三边上的高．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了代数式求值和绝对值、二次根式的非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，，
，，
解得，，
则．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是算术平方根的非负性，二次根式的非负性的有关知识，根据非负性质得到，求解即可．
【解答】
解：，
，
解得，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和二次根式的非负数的性质，分类讨论思想和三角形三边关系．关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解，利用三角形三边关系检验即可．
【解答】
解：，
，，
解得，，
当作腰时，三边为，，，不符合三边关系定理；
当作腰时，三边为，，，符合三边关系定理，周长为：．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式为最简二次根式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由于，，所以，与是同类二次根式，可以合并，因此选项A不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，因此选项B符合题意；
C.与是同类二次根式，可以合并，因此选项C不符合题意；
D.与是同类二次根式，可以合并，因此选项D不符合题意；
故选：．
将各个选项中的二次根式进行化简，再判断是否为同类二次根式即可．
本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，理解同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式进行化简是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故A不正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确．
故选：．
计算每一个选择支，得结论
本题考查了二次根式的性质及二次根式的加减，题目比较容易，掌握二次根式的化简和性质是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
．
故选：．
先计算出原式得，再根据无理数的估算可得答案．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
 

12.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
根据当是最小的平方数时，最小，从而得出答案．
本题考查了二次根式的定义，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质求出即可．
本题考查了二次根式的乘法和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：原式，
故，，
则．
故答案为：．
直接化简二次根式进而得出，的值求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

17.【答案】解：一个三角形的三边长分别为、、，
，
，




． 

【解析】先根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．
本题考查了三角形三边关系定理和二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键，注意：当时，，当时，．
 

18.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，立方根，实数的运算，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由，可得，
故答案为：；
由，可得，
解得或；
直线与轴的交点为，
直线与互相平行，
两直线间的距离为点到直线的距离，
．
用公式直接计算即可；
由公式可得，求出即可；
将两直线间距离转化为点到直线的距离，再求解即可．
本题考查点到直线的距离求法，理解题意，灵活应用所给的公式进行运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式．
当时，． 

【解析】利用二次根式化简再代入求值即可．
考查了二次根式的性质、化简求值，关键要掌握二次根式的性质．
 

21.【答案】解：等式两边都除以，得，
；
等式两边都除以，得，
，
，
，
． 

【解析】已知等式两边除以，求出的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值；
已知等式两边除以，求出的值，原式平方后利用完全平方公式化简，把的值代入后开方即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
，
，
，
，
，




，
的值为．
分子与分母同时乘，进行计算即可解答；
先进行分母有理化求出的值，然后再利用完全平方公式求出，最后代入式子进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，分母有理化，熟练掌握完全平方公式，以及平方差公式是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，，
则



． 

【解析】根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的加法法则、乘法法则以及完全平方公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：


；




，
当时，原式． 

【解析】先算乘法和零指数幂，然后合并同类二次根式即可；
先算括号内的式子，然后计算出括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算、零指数幂，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和二次根式混合运算的运算法则．
 

25.【答案】解：三角形周长为，两边长分别为和，
第三边的长是：；
面积为，
第三边上的高为． 

【解析】根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；
根据三角形的高等于三角形的面积的倍除以底边即可求出第三边上的高．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．