湘教版八年级下册第1章 直角三角形综合与测试课时作业

八年级数学下册第1章检测题

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间：120分钟，赋分：120分)

分数：________

第Ⅰ卷　(选择题　共36分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

1．已知∠A，∠B为Rt△ABC的两锐角，∠B＝54°，则∠A＝     （B）

A．60°    B．36°    C．56°    D．46°

2．下列各组数据为线段的长，这些线段中不能构成直角三角形的（D）

A．6，8，10     B．5，12，13     C．1，，2    D．32，42，52

 3.(达州中考)在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF的条件是                         （C ）

A．AC＝DF，BC＝EF    B．∠A＝∠D，AB＝DE

C．AC＝DF，AB＝DE    D．∠B＝∠E，BC＝EF

4．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝4，则AB的长度为（B）

A．3    B．    C．3    D．无法计算

 第4题图

　　 　第5题图

5．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∠BAD＝25°，则∠CAD＝                                              （B）

A．20°    B．25°    C．30°    D．50°

6．如图，沿AC方向开山修建一条隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工(点A，C，E在同一直线上)，从AC上的一点B取∠ABD＝150°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝60°，测得BD＝520 m，BC＝80 m，并且AC，BD和DE在同一平面内，则隧道CE段的长度为                                              （C）

A．180 m              B．260 m

C．(260－80) m    D．(260－80) m

 第6题图

　　 第7题图

7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为                                                  （C）

A．0.7 m    B．1.5 m    C．2.2 m    D．2.4 m

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝8，CP＝4，则∠B的度数是                                         （B）

A．45°    B．30°    C．60°    D．15°

第8题图

　 第9题图

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠ABC＝60°， BD平分∠ABC ，P点是BD的中点，若AD＝6, 则CP的长为                   （A）

A．3    B．3.5    C．4    D．4.5

10．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是            （C）

A．1    B．2    C．3    D．4

第10题图

　 　 第11题图

11．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于                      （B）

A．4    B．5    C．6    D．7

12．如图，点P在∠MAN的平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S，若∠ABP＋∠ACP＝180°，则下面三个结论：①AS＝AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的（C）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①②③

第12题图

　 　 第13题图

第Ⅱ卷　(非选择题　共84分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BDC＝40°．

14．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D，若要得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA．(写一种即可)

 第14题图

　　第15题图

15．将一副三角尺如图叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是24.5cm2.

16．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于3．

第16题图

　　第17题图

17．如图，DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝120°，则∠DGF＝140°．

18．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°.其中一定正确的是①②③．(填序号)

三、解答题(本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19．(本题满分10分)(潜江期中)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线，ED平分∠AEB，交AB于点D，∠CAE＝∠B.

(1)如果AC＝3 cm，求AB的长度；

(2)猜想ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

解：(1)∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠CAE＝∠EAB，

∵∠CAE＝∠B，

∴∠CAE＝∠EAB＝∠B.

∵在△ABC中，∠C＝90°，

∴∠CAE＋∠EAB＋∠B＝3∠B＝90°，

∴∠B＝30°.

又∵∠C＝90°，AC＝3 cm，∴AB＝2AC＝6 cm.

(2)猜想：ED⊥AB.

理由：∵∠EAB＝∠B，∴EB＝EA，

∵ED平分∠AEB，∴ED垂直平分AB.

20．(本题满分5分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的点E，F为AB的中点，求证：EF＝AB.

证明：∵AD∥BC，

∴∠DAB＋∠ABC＝180°.

∵AE，BE分别平分∠DAB与∠ABC，

∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠ABC，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°.

又∵F为AB的中点，

∴EF＝AB.

21．(本题满分6分)如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG.求证：OC是∠AOB的平分线．

证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，

∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)，

∴PD＝PE.

∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴OC是∠AOB的平分线．

22．(本题满分8分)如图所示，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)

解：如图，点P1，P2即为所求货站P的位置．

23．(本题满分8分)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C，D都在格点上．

(1)求四边形ABCD的周长；

(2)求证：∠ABC＝90°.

(1) 解：AD＝＝2，AB＝＝2，

BC＝＝，

CD＝＝，

∴四边形ABCD的周长＝2＋3＋.

(2)证明：连接AC.

∵AC＝＝5，AB＝2，BC＝，

∴AC2＝25，AB2＋BC2＝25，

∴AB2＋BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°.

24．(本题满分8分)已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，且AD＝1，求△ABC的面积.

解：在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°(等边对等角).

∵AD⊥AB，

∴BD＝2AD＝2.

又∵∠DAC＝(180°－∠B－∠C)－∠BAD＝30°，

∴AD＝DC＝1.

∴BC＝BD＋DC＝2＋1＝3，

又∵AB＝＝，

过点A作AE⊥BC于点E，

则AE＝AB＝.

∴△ABC的面积为

S△ABC＝BC·AE＝× 3× ＝.

25.(本题满分11分)2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程——邵阳资水犬木塘水库，于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62 m，100 m，200 m，管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2的夹角为45°，求管道AB和BC的总长度(结果保留根号).

解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，

∴OB1＝AA1＝62 m，B2C1＝BB1＝100 m，

∴BO＝BB1－OB1＝100－62＝38 m，

CB2＝CC1－B2C1＝200－100＝100 m.

在Rt△AOB中，

∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38 m，

∴AB＝2BO＝2×38＝76(m)，

在Rt△CBB2中，

∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100 m，

∴BC＝＝100 m，

∴AB＋BC＝(76＋100) m，

即管道AB和BC的总长度为(76＋100) m．

26．(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，M在AC上，且AM＝6 cm，过点A作射线AN⊥AC(AN与BC在AC同侧)，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1 cm/s，设点P运动时间为t秒．

(1)如图①，经过________秒时，Rt△AMP是等腰直角三角形？

(2)如图②，当PM⊥AB于点Q时，求此时t的值；

(3)如图③，过点B作BD⊥AN于点D，已知，BD＝8 cm，请问是否存在点P，使△BMP是以BM为腰的等腰三角形？对存在的情况，请求出t的值，对不存在的情况，请说明理由．

解：(1)∵∠PAM＝90°，当Rt△AMP是等腰直角三角形时，

则有PA＝AM＝6 cm，

∴t＝6÷1＝6 s，故答案为6.

(2)∵PM⊥AB，AN⊥AC，

∴∠AQM＝90°，∠PAM＝90°，

∴∠AMP＋∠BAC＝90°.

又∵∠C＝90°，∴∠CBA＋∠BAC＝90°，

∴∠AMP＝∠CBA.

在△ACB和△PAM中，

∴△ACB≌△PAM(ASA)，∴PA＝AC，

∵AC＝8 cm，∴t＝8÷1＝8 s，此时t的值为8.

(2) 存在．理由：∵∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AM＝6 cm，

∴CM＝2 cm，由勾股定理得：

BM＝＝＝2 cm.

∵BD⊥AN，BD＝8  cm，

∴BD＞BM，则不存在点P使BM＝PB的等腰三角形，

又∵AM＜BM，则存在点P使BM＝PM的等腰三角形，

在Rt△MCB和Rt△PAM中，

∴Rt△MCB≌Rt△PAM(HL)，

∴PA＝CM＝2 cm，

∴t＝2÷1＝2 s，此时t的值为2.