高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念优秀导学案

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7.2.2 同角三角函数关系








结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin α与cs α满足什么关系？tan α与sin α，cs α之间满足什么关系？








同角三角函数的基本关系


(1)平方关系：sin2α＋cs2 α＝1．


(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))．


思考：sin2α＋cs2β＝1恒成立吗？


[提示] 不一定．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)对任意角α，sin23α＋cs23α＝1都成立．( )


(2)对任意角α，eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＝tan eq \f(α,2)都成立．( )


(3)sin α＝eq \f(1,2)是cs α＝eq \f(\r(3),2)的充分条件．( )


[提示] (1)符合同角三角函数的关系．


(2)等式eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))＝tan eq \f(α,2)的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)≠0，,\f(α,2)≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))


即α≠π＋2kπ，k∈Z．


(3)因为α的范围不明确，故cs α＝±eq \r(1－sin2α)＝±eq \f(\r(3),2)，由sin α＝eq \f(1,2)不能推出cs α＝eq \f(\r(3),2)．


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．已知α是第二象限角，且cs α＝－eq \f(1,3)，则tan α＝ ．


－2eq \r(2) [∵α是第二象限角，∴sin α＞0．


又sin2α＋cs2α＝1，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))eq \s\up12(2))＝eq \f(2\r(2),3)，


∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2)．]


3．已知tan α＝2，则eq \f(cs α－5sin α,3cs α＋sin α)＝ ．


－eq \f(9,5) [由tan α＝2知cs α≠0，


所以eq \f(cs α－5sin α,3cs α＋sin α)＝eq \f(1－5tan α,3＋tan α)＝－eq \f(9,5)．]








【例1】 (1)已知sin α＝－eq \f(3,5)，求cs α，tan α的值；


(2)已知sin α＋2cs α＝0，求2sin αcs α－cs2α的值．


[思路点拨]





(2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．


[解] (1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．


由sin2α＋cs2α＝1得cs2α＝1－sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,25)．


如果α是第三象限角，那么cs α＜0．


于是cs α＝－eq \r(\f(16,25))＝－eq \f(4,5)，


从而tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝eq \f(3,4)．


如果α是第四象限角，那么cs α＝eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)．


(2)法一：由sin α＋2cs α＝0，得tan α＝－2．


所以2sin αcs α－cs2α＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α－1,tan2α＋1)＝eq \f(－4－1,4＋1)＝－1．


法二：由sin α＋2cs α＝0得2cs α＝－sin α，


所以2sin αcs α－cs2α＝－sin2α－cs2α＝－(sin2α＋cs2α)＝－1．





1．求三角函数值的方法


(1)已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方式求解





(2)已知tan θ求sin θ(或cs θ)常用以下方式求解





当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．


2．已知角α的正切求关于sin α，cs α的齐次式的方法


(1)关于sin α，cs α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cs α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cs α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．


(2)若关于sin α，cs α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cs2α来代换，将分子、分母同除以cs2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．





eq \([跟进训练])


1．已知tan α＝－2，求sin α，cs α的值．


[解] 法一：∵tan α＝－2<0，


∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cs α，①


又sin2α＋cs2α＝1，②


由①②消去sin α，得(－2cs α)2＋cs2α＝1，即cs2α＝eq \f(1,5)．


当α为第二象限角时，cs α＝－eq \f(\r(5),5)，代入①得sin α＝eq \f(2\r(5),5)；


当α为第四象限角时，cs α＝eq \f(\r(5),5)，代入①得sin α＝－eq \f(2\r(5),5)．


法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．


由tan α＝eq \f(sin α,cs α)，


两边分别平方，得tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)，


又sin2α＋cs2α＝1，


∴tan2α＋1＝eq \f(sin2α,cs2α)＋1＝eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)＝eq \f(1,cs2α)，


即cs2α＝eq \f(1,1＋tan2α)．


当α为第二象限角时，cs α<0，


∴cs α＝－eq \r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq \r(\f(1,1＋－22))＝－eq \f(\r(5),5)，


∴sin α＝tan α·cs α＝(－2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝eq \f(2\r(5),5)．


当α为第四象限角时，cs α>0，


∴cs α＝eq \r(\f(1,1＋tan2α))＝eq \r(\f(1,1＋－22))＝eq \f(\r(5),5)，


∴sin α＝tan α·cs α＝(－2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(2\r(5),5)．


【例2】 (1)化简：eq \f(\r(1－2sin 130°cs 130°),sin 130°＋\r(1－sin2130°))；


(2)若角α是第二象限角，化简：tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)．


[思路点拨]


(2)eq \x(切化弦)―→eq \x(化简求值)


[解] (1)原式＝eq \f(\r(sin2130°－2sin 130°cs 130°＋cs2130°),sin 130°＋\r(cs2130°))


＝eq \f(|sin 130°－cs 130°|,sin 130°＋|cs 130°|)＝eq \f(sin 130°－cs 130°,sin 130°－cs 130°)＝1．


(2)原式＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(|cs α|,|sin α|)，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cs α<0，所以原式＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(|cs α|,|sin α|)＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(－cs α,sin α)＝－1．





化简三角函数式的常用方法


1切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.


2对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.


3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.


提醒：在应用平方关系式求sin α或cs α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.





eq \([跟进训练])


2．化简：(1)eq \f(cs 36°－\r(1－cs236°),\r(1－2sin 36°cs 36°))；


(2)eq \f(sin θ－cs θ,tan θ－1)．


[解] (1)原式＝eq \f(cs 36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cs236°－2sin 36°cs 36°))＝eq \f(cs 36°－sin 36°,\r(cs 36°－sin 36°2))＝eq \f(cs 36°－sin 36°,|cs 36°－sin 36°|)


＝eq \f(cs 36°－sin 36°,cs 36°－sin 36°)＝1．


(2)原式＝eq \f(sin θ－cs θ,\f(sin θ,cs θ)－1)＝eq \f(cs θsin θ－cs θ,sin θ－cs θ)＝cs θ．


【例3】 求证：eq \f(1＋2sin xcs x,cs2x－sin2x)＝eq \f(1＋tan x,1－tan x)．


[思路点拨] 从左边利用“1＝sin2x＋cs2x”及平方差公式推右边便可．


[解] ∵(sin x＋cs x)2＝1＋2sin xcs x，


∴左边＝eq \f(sin x＋cs x2,cs x＋sin xcs x－sin x)


＝eq \f(sin x＋cs x,cs x－sin x)


＝eq \f(1＋tan x,1－tan x)＝右边．





1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cs α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cs2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．


2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：


(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．


(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．


(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．


(4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等．


(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”．





eq \([跟进训练])


3．证明下列三角恒等式：


(1)eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α)；


(2)eq \f(2sin αcs α,sin α＋cs α－1sin α－cs α＋1)＝eq \f(1＋cs α,sin α)．


[证明] (1)左边＝eq \f(\f(sin α,cs α)·sin α,\f(sin α,cs α)－sin α)＝eq \f(sin2α,sin α－sin αcs α)＝eq \f(1－cs2α,sin α1－cs α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)．


右边＝eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(1,sin α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)．


∴左边＝右边，等式恒成立．


(2)左边＝eq \f(2sin αcs α,[sin α＋cs α－1][sin α－cs α－1])


＝eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs α－12)＝eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α－1＋2cs α)


＝eq \f(2sin αcs α,2cs α1－cs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)


＝eq \f(sin α1＋cs α,1－cs α1＋cs α)


＝eq \f(sin α1＋cs α,sin2α)


＝eq \f(1＋cs α,sin α)＝右边．


所以原等式成立．


[探究问题]


1．已知sin α±cs α的值，能求sin αcs α的值吗？反之呢？


[提示] 设sin α±cs α＝m，则(sin α±cs α)2＝m2，


即1±2sin αcs α＝m2，所以sin αcs α＝±eq \f(m2－1,2)．


反之也可以，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，开方便可．


2．已知sin α＋cs α的值，如何求sin α－cs α或cs α－sin α的值？


[提示] 设sin α＋cs α＝t，则1＋2sin αcs α＝t2，


从而2sin αcs α＝t2－1，


∴1－2sin αcs α＝2－t2，


从而(sin α－cs α)2＝2－t2，


对上式开方便可得出“sin α－cs α”或“cs α－sin α”的值．


【例4】 已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且0＜α＜π．


求：(1)sin αcs α的值；


(2)求sin α－cs α的值．


[思路点拨] eq \x(sin α＋cs α＝\f(1,5))eq \(――→,\s\up8(平方))eq \x(求sin αcs α)


eq \(――――――→,\s\up10(构造完全),\s\d10(平方差公式))eq \x(求sin α－cs α2)0＜α＜π,eq \x(求sin α－cs α)


[解] (1)∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，


∴(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,25)，


∴1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，


即sin αcs α＝－eq \f(12,25)．


(2)∵(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α


＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)．


又∵0＜α＜π，且sin αcs α＜0，


∴sin α＞0，cs α＜0，∴sin α－cs α＞0，


∴sin α－cs α＝eq \f(7,5)．





1．已知sin θ±cs θ求sin θcs θ，只需平方便可．


2．已知sin θcs θ求sin θ±cs θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cs θ的正负．





eq \([跟进训练])


4．已知△ABC中，sin A＋cs A＝eq \f(\r(3)－1,2)，则A的值为 ．


eq \f(2π,3) [∵A∈(0，π)，sin Acs A＝eq \f(sin A＋cs A2－1,2)＝－eq \f(\r(3),4)<0，∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，由sin A＋cs A＝eq \f(\r(3)－1,2)>0，


则sin A－cs A>0，(sin A－cs A)2＝1－2 sin Acs A＝eq \f(2＋\r(3),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))eq \s\up12(2)，


所以sin A－cs A＝eq \f(\r(3)＋1,2)，解得sin A＝eq \f(\r(3),2)，cs A＝－eq \f(1,2)，又A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以A＝eq \f(2π,3)．]








1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cs θ与sin θcs θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．


2．掌握sin θ±cs θ与sin θcs θ之间的转换


(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；


(2)(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ；


(3)(sin θ＋cs θ)2＋(sin θ－cs θ)2＝2；


(4)(sin θ－cs θ)2＝(sin θ＋cs θ)2－4sin θcs θ．


3．掌握同角三角函数基本关系式的三个应用


(1)利用同角三角函数的基本关系求值；


(2)sin θ±cs θ与sin θcs θ关系的应用；


(3)三角函数式的化简与证明的方法．


4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α，cs α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α，cs α漏解或多解的错误．





1．若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )


A．eq \f(5,12) B．－eq \f(5,12)


C．eq \f(12,5) D．－eq \f(12,5)


B [∵sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，


故cs α＝eq \f(12,13)，


∴tan α＝－eq \f(5,12)．]


2．已知tan α＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π<α<\f(3,2)π))，则cs α－sin α等于 ．


eq \f(\r(3)－1,2) [由tan α＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π<α<\f(3π,2)))，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＋cs2α＝1，,sin α＝\r(3)cs α，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(\r(3),2)，,cs α＝－\f(1,2)，))


∴cs α－sin α＝eq \f(\r(3)－1,2)．]


3．若eq \f(sin α＋cs α,2sin α－cs α)＝2，则tan α＝ ．


1 [∵eq \f(sin α＋cs α,2sin α－cs α)＝2，


∴eq \f(tan α＋1,2tan α－1)＝2，


∴tan α＋1＝4tan α－2，


即3tan α＝3，∴tan α＝1．]


4．求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α)．


[证明] ∵右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan2α1－cs2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan2αsin2α,tan α－sin αtan αsin α)


＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)


＝左边，


∴原等式成立．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α)．(重点)


2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
利用同角三角函数基本关系式求值
三角函数式的化简、求值
三角函数式的证明
“sin α±cs α”同“sin αcs α”间的关系