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    (新)苏教版高中数学必修第一册学案:第6章 6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质(含解析)
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    苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数精品第1课时导学案

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数精品第1课时导学案,共9页。

    6.3 对数函数


    第1课时 对数函数的概念、图象与性质








    某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……经过多少次分裂,大约可以得到1万个细胞?10万个细胞?……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系么?





    1.对数函数的概念


    一般地,函数y=lgax(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞).


    2.对数函数的图象与性质








    3.反函数


    (1)对数函数y=lgax(a>0,a≠1)和指数函数y=ax(a>0,a≠1)互为反函数,它们的图象关于y=x对称.


    (2)一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f-1(x).


    (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.


    (4)原函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域;原函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域.





    1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)


    (1)对数函数的定义域为R.( )


    (2)y=lg2x2与lgx3都不是对数函数.( )


    (3)对数函数的图象一定在y轴右侧.( )


    (4)函数y=lg2x与y=x2互为反函数.( )


    [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


    2.对数函数f(x)的图象过点(4,2),则f(8)= .


    3 [设f(x)=lga x,则lga 4=2,∴a2=4,∴a=2,


    ∴f(8)=lg2 8=3.]


    3.(1)函数f(x)=eq \f(lgx+1,x-1)的定义域是 .


    (2)若对数函数y=lg(1-2a)x,x∈(0,+∞)是增函数,则a的取值范围为 .


    (3)若g(x)与f(x)=2x互为反函数,则g(2)= .


    (1){x|x>-1且x≠1} (2)(-∞,0) (3)1


    [(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1>0,,x-1≠0))⇒x>-1且x≠1.


    (2)由题意得1-2a>1,所以a<0.


    (3)f(x)=2x的反函数为y=g(x)=lg2 x,


    ∴g(2)=lg2 2=1.]








    【例1】 判断下列函数是否是对数函数?并说明理由.


    (1)y=lgax2(a>0,且a≠1);


    (2)y=lg2x-1;


    (3)y=2lg8x;


    (4)y=lgxa(x>0,且x≠1).


    [思路点拨] 依据对数函数的定义来判断.


    [解] (1)中真数不是自变量x,∴不是对数函数;


    (2)中对数式后减1,


    ∴不是对数函数;


    (3)中lg8x前的系数是2,而不是1,


    ∴不是对数函数;


    (4)中底数是自变量x,而不是常数a,


    ∴不是对数函数.





    一个函数是对数函数,必须是形如y=lgax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:


    (1)系数为1;


    (2)底数为大于0且不等于1的常数;


    (3)对数的真数仅有自变量x.





    eq \([跟进训练])


    1.对数函数f(x)满足f(2)=2,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))= .


    -2 [设f(x)=lga x(a>0且a≠1),


    由题知f(2)=lga 2=2,故a2=2,∴a=eq \r(2)或-eq \r(2)(舍).


    ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=lgeq \s\d7(eq \r(2)) eq \f(1,2)=-2.]


    【例2】 求下列函数的定义域:


    (1)f(x)=lgx-1(x+2);(2)f(x)=eq \r(-lg 1-x);


    (3)f(x)=eq \f(1,lg2x-1);(4)f(x)=eq \f(1,\r(1-lgax+a))(a>0且a≠1).


    [思路点拨] 根据对数式中底数、真数的范围,列不等式(组)求解.


    [解] (1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1>0,,x-1≠1,,x+2>0,))解得x>1且x≠2,


    ∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}.


    (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-lg 1-x≥0,,1-x>0,))


    得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 1-x≤0,,x<1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-x≤1,,x<1))⇒0≤x<1.


    ∴函数的定义域为[0,1).


    (3)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x-1≠0,,x-1>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1≠1,,x>1,))


    ∴x>1且x≠2.


    故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}.


    (4)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-lgax+a>0,,x+a>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgax+a-a,))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))


    当a>1时,-a<-1.


    由①得x+a

    ∴x<0.


    ∴f(x)的定义域为{x|-a

    当0

    由①得x+a>a.


    ∴x>0.


    ∴f(x)的定义域为{x|x>0}.


    故所求f(x)的定义域是:


    当0

    当a>1时,x∈(-a,0).





    求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.





    eq \([跟进训练])


    2.(1)函数y=eq \r(x)ln (1-2x)的定义域为 .


    (2)函数y=eq \f(lg x+1,\r(2x-1))的定义域为 .


    (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(1,2))))) (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2))))) [(1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0,,1-2x>0,))解得0≤x

    (2)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1>0,,2x-1>0,))解得x>eq \f(1,2),∴定义域为xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2))).]


    [探究问题]


    1.在同一坐标系中作出y=lg2 x,y=lgeq \s\d7(eq \f(1,2))x,y=lg x,y=lg0.1 x的图象.观察图象,从底数的大小及相对位置方面来看,可以得出什么结论?


    [提示] 图象如图.作直线y=1,与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底.





    结论:对于底数a>1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近x轴;对于底数0

    2.函数y=lga x,y=lgb x,y=lgc x的图象如图所示,那么a,b,c的大小关系如何?





    [提示] 由图象可知a>1,b,c都大于0且小于1,由于y=lgb x的图象在(1,+∞)上比y=lgc x的图象靠近x轴,所以b

    3.从以上两个探究,我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系?


    [提示] 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大.


    【例3】 (1)比较下列各组数的大小:


    ①lg3 eq \f(2,3)与lg5 eq \f(6,5);②lg1.1 0.7与lg1.2 0.7.


    (2)已知lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) b

    [思路点拨] (1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系.


    (2)中可先比较a,b,c的大小关系,再借助指数函数的单调性.


    [解] (1)①∵lg3 eq \f(2,3)lg5 1=0,


    ∴lg3 eq \f(2,3)

    ②法一:∵0<0.7<1,1.1<1.2,∴0>lg0.7 1.1>lg0.7 1.2.


    ∴eq \f(1,lg0.7 1.1)

    由换底公式可得lg1.1 0.7

    法二:作出y=lg1.1 x与y=lg1.2 x的图象,如图所示,





    两图象与x=0.7相交可知lg1.1 0.7

    (2)∵y=lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) x为减函数,且lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) b

    ∴b>a>c.


    而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c.





    比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,若“底”的范围不明确,则需分两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.





    eq \([跟进训练])


    3.比较下列各组数的大小.


    (1)lg3 3.4与lg3 8.5;(2)lg0.1 3与lg0.6 3;


    (3)lg4 5与lg6 5;(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1).


    [解] (1)∵底数3>1,


    ∴y=lg3 x在(0,+∞)上是增函数,于是lg3 3.4

    (2)在同一坐标系内作出y=lg0.1 x与y=lg0.6 x的图象,如图,可知在(1,+∞)上,函数y=lg0.1 x的图象在函数y=lg0.6 x图象的上方,故lg0.1 3>lg0.6 3.





    (3)∵lg4 5>lg4 4=1,


    lg6 5

    ∴lg4 5>lg6 5.


    (4)①当0(lg m)2.1;


    ②当lg m=1,即m=10时,(lg m)1.9=(lg m)2.1;


    ③当lg m>1,即m>10时,y=(lg m)x在R上是增函数,


    ∴(lg m)1.9<(lg m)2.1.








    1.判断一个函数是不是对数函数,关键是分析所给函数是否具有y=lgax(a>0,且a≠1)这种形式.


    2.在对数函数y=lgax中,底数a对其图象直接产生影响,学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.


    3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.





    1.下列函数是对数函数的是( )


    A.y=lga(2x) B.y=lg2 2x


    C.y=lg2 x+1 D.y=lg x.


    D [根据对数函数的定义,只有D是对数函数.]


    2.(一题两空)函数y=ln x的单调增区间是 ,反函数是 .


    (0,+∞) y=ex [y=ln x的底为e>1,故y=ln x在(0,+∞)上单调递增,其反函数为y=ex.]


    3.函数y=lga(2x-3)+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .


    (2,1) [函数可化为y-1=lga(2x-3),


    可令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-3=1,,y-1=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=1,))即P(2,1).]


    4.求下列函数的定义域:





    [解] (1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+2>0,,lg33x+2≠0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x>-2,,3x+2≠1))⇒x>-eq \f(2,3)且x≠-eq \f(1,3).


    所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>-\f(2,3)且x≠-\f(1,3))))).


    (2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-4x+8>0,,2x-1>0,,2x-1≠1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2,,x>\f(1,2),,x≠1.))


    所以y=lg(2x-1)(-4x+8)的定义域为








    即0

    故定义域为{x|2

    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解对数函数的概念.


    2.掌握对数函数的图象和性质.(重点)


    3.能够运用对数函数的图象和性质解题.(重点)


    4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数.(难点)
    通过学习本节内容,提升学生的数学运算和直观想象的核心素养.
    对数函数的概念
    对数函数的定义域问题
    比较对数式的大小
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