初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教学设计

教学过程

一、导入新课

我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系．

二、新课教学

问题如图（见教材图22.2-1），以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系

h＝20t－5t2．

考虑以下问题：

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题．

（1）当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．

（2）当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．

（3）方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．

（4）当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．

问题2 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

（1）y＝x2＋x－2；    （2）y＝x2－6x＋9；    （3）y＝x2－x＋1．

教师引导学生画出函数的图象（下图），然后说说有什么特点和性质．

（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．

（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．

（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．

三、归纳总结

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．

四、巩固练习

例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．

解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为

x1≈－0.7，x2≈2.7．

    我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．

五、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

六、布置作业

习题22.2 第2、4题．