人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品第2课时学案

4.1  指数

第2课时  指数幂及其运算

【学习目标】

【自主学习】

一．分数指数幂

1.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝     (a>0，m，n∈N*，且n>1)；

2.规定正数的负分数指数幂的意义是：       ＝     (a>0，m，n∈N*，且n>1)；

3.0的正分数指数幂等于  ,0的负分数指数幂     ．

二．有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

1.aras＝    (a>0，r，s∈Q)；   

2.(ar)s＝    (a>0，r，s∈Q)；

3.(ab)r＝    (a>0，b>0，r∈Q)．

三．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的      ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

【小试牛刀】

1.思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　)

(2) ＝a－b.(　　)

(3)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　)

(4)0的任何指数幂都等于0.(　　)

2.下列运算结果中，正确的是(　　)

A．a2a3＝a5　　　　 B．(－a2)3＝(－a3)2

C．(－1)0＝1   D．(－a2)3＝a6

【经典例题】

题型一　根式与分数指数幂的互化

点拨：1.根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.

2.当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.

例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．

   ； （3）

【跟踪训练】1用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：

(1)a2；  (2)；   (3)·；  (4)()2·.

题型二  分数指数幂的运算

点拨：进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

例2计算下列各式：

（1）     (2)

【跟踪训练】2 计算下列各式

(1)2××；  (2)；(3).

题型三  指数幂运算中的条件求值

点拨：

1.求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．

2.在进行整体代换时常用的一些公式：

(1)完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.

(2)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

(3)立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．

(4)立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．

(5)完全立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.

例3 已知，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2； (3) a3＋a－3.

【跟踪训练】3（1）已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．

（2）已知67x＝27,603y＝81，求－的值．

【当堂达标】

1.把根式a化成分数指数幂是(　　)

2. 的值是(　　)

A.           B.        C. D．－

3.(多选)下列等式中，不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

4.计算：0.25×－4÷20－－＝________.

5.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.

6.已知求的值．

【课堂小结】

1．指数幂的一般运算步骤一定要遵循去括号，负数指数幂化为正数指数幂，及底数是负数、小数、带分数的转化方法．

2．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过

程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．

3．对于含有字母的化简求值，结果一般用分数指数幂的形式表示.

【参考答案】

【自主学习】

一．      0  没有意义

二．ar＋s   ars   arbr   

三．实数

【小试牛刀】

1.(1)√ (2)×  (3)×　(4)×　

2.A 解析：a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.

【经典例题】

例1 解：(1) ＝.  （2）＝.（3）

【跟踪训练】1 解：(1)原式＝. 

(2)原式＝.

(3)原式.

(4)原式.

例 2 解：（1）原式＝

（2）　

【跟踪训练】2 解：(1)原式＝；

(2) 原式＝

(3) 原式＝

例3  解：(1)将两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)，代入a＋a－1＝14和 a2＋a－2＝194，

故a3＋a－3＝14×(194－1)＝2702.

【跟踪训练】3 解：（1）∵a>0，b>0，又ab＝ba，

（2）由67x＝33，由603y＝81，

＝＝9＝32，∴－＝2，故－＝－2.

【当堂达标】

1.D解析：由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.

2. B 解析：＝＝－1＝.

3.ABC 解析：对于A，， 故A不正确；

对于B， ，故B不正确；

对于C， 中，故C不正确；

对于D， ，故D正确．

故选：ABC

4.－4 解析：原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.

5. 　 解析：利用一元二次方程根与系数的关系，

得α＋β＝－2，αβ＝.即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝.

6.解：由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，

整理，得x＋x－1＝23，则有＝23.