数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数第2课时导学案

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数第2课时导学案，共13页。

1．学会根式与分数指数幂之间的相互转化．
2．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值．
3．了解无理数指数幂的意义．
1．分数指数幂的意义
温馨提示：(1)分数指数幂a eq \s\up15( eq \f (m,n)) 不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a－b＝eq \f(1,ab)(a>0，b是正无理数)．
(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
[答案] 成立
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( )
(2)分数指数幂a eq \s\up15( eq \f (m,n)) 可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．( )
(3)0的任何指数幂都等于0.( )
(4)[(a－b)2] eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝a－b.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一 根式与分数指数幂的互化
【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)eq \f(1,\r(3,a2))；(2)a3·eq \r(3,a2)；(3) eq \r(3,\f(b,－a2)).
根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[针对训练]
1．用分数指数幂表示下列各式：
题型二 指数幂的运算
【典例2】 计算：
[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
[针对训练]
2．计算：
题型三 条件求值问题
[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.
[答案] (1)±3eq \r(5) (2)－eq \f(\r(3),3)
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
课堂归纳小结
1．指数幂的一般运算步骤一定要遵循去括号，负数指数幂化为正数指数幂，及底数是负数、小数、带分数的转化方法．
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过
程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3．对于含有字母的化简求值，结果一般用分数指数幂的形式表示.
1.eq \r(3,a)·eq \r(6,－a)等于( )
A．－eq \r(－a)B．－eq \r(a)
C.eq \r(－a) D.eq \r(a)
[答案] A
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up15(－eq \f(1,4)) 的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,81)D．－eq \f(81,4)
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up15(－eq \f(1,4)) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4)) eq \s\up15(－eq \f(1,4)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－1＝eq \f(3,2).
[答案] B
[答案] A
4．化简(eq \r(3)＋eq \r(2))2018·(eq \r(3)－eq \r(2))2019＝________.
[解析] (eq \r(3)＋eq \r(2))2018·(eq \r(3)－eq \r(2))2019＝[(eq \r(3)＋eq \r(2))(eq \r(3)－eq \r(2))]2018·(eq \r(3)－eq \r(2))＝12018·(eq \r(3)－eq \r(2))＝eq \r(3)－eq \r(2).
[答案] eq \r(3)－eq \r(2)
5．计算或化简下列各式：
(1)(eq \r(a)＋1)eq \r(2)(eq \r(a)－1)eq \r(2)(a－1)－eq \r(2)；
课后作业(二十六)
复习巩固
[答案] B
2．下列各式成立的是( )
[解析] 被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝eq \f(b2,a2)，B选项错；eq \r(6,－32)>0，(－3) eq \s\up15( eq \f (1,3)) <0，C选项错，故选D.
[答案] D
3．若aA.eq \r(2a－1)B．－eq \r(2a－1)
C.eq \r(1－2a)D．－eq \r(1－2a)
[解析] ∵a∴eq \r(4,2a－12)＝eq \r(1－2a).
[答案] C
[答案] C
5．若(1－2x) eq \s\up15(－eq \f (3,4)) 有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈RB．x∈R且x≠eq \f(1,2)
C．x>eq \f(1,2)D．x[解析] ∵(1－2x) eq \s\up15(－eq \f (3,4)) ＝eq \f(1,\r(4,1－2x3))，∴1－2x>0，得x[答案] D
[答案] eq \r(5)
[答案] －23
[答案] eq \f(2\r(2),9)
三、解答题
9．计算下列各式的值：
10．(1)已知x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)，求eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))的值；
(2)已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
[解] (1)eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))＝eq \f(\r(x)＋\r(y)2,x－y)－eq \f(\r(x)－\r(y)2,x－y)＝eq \f(4\r(xy),x－y).
将x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)代入上式得
原式＝eq \f(4\r(\f(1,2)×\f(2,3)),\f(1,2)－\f(2,3))＝eq \f(4\r(\f(1,3)),－\f(1,6))＝－24eq \r(\f(1,3))＝－8eq \r(3).
(2)∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1.
又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝(a－1)2.
∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2
＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
综合运用
11．设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是( )
[答案] C
12．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10)B．10
C．20D．100
[答案] A
13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
[解析] 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2 eq \s\up15( eq \f (1,5)) .
[答案] eq \f(1,4) 2 eq \s\up15( eq \f (1,5))
14．化简 eq \r(10－4\r(3＋2\r(2)))的值为________．
[解析] 原式＝ eq \r(10－4\r(2)＋1)
＝ eq \r(22－4\r(2)＋\r(2)2)
＝2－eq \r(2)
[答案] 2－eq \r(2)
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4.))
∵a>b>0，∴eq \r(a)>eq \r(b)，∴eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))>0.
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
∴eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝ eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).