高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质优质第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质优质第2课时导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.2.2 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；
2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小；
3.能运用函数的单调性和奇偶性解不等式。
1、数学抽象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
奇函数、偶函数的性质
1.若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝ .
2.若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
3.若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
【经典例题】
题型一　利用奇偶性求解析式
角度1：已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数,未必有f(0)＝0.
例1 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式．




【跟踪训练】1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．




角度2：已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式
已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令x＝－x.f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．



【跟踪训练】2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．



题型二　利用奇偶性和单调性比较大小
点拨：比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上
1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
例3 设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是 ．

【跟踪训练】3 若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是(　　)
A．f > f B．f < f
C．f ≥ f D．f ≤ f

题型三 函数的奇偶性和单调性解不等式
点拨： 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.
例4 已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围。


【跟踪训练】4 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)

题型四　抽象函数的奇偶性与单调性
点拨：抽象函数涉及的问题有如下几类
一是单调性，由于没有具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得靠题中给出的抽象函数所满足的关系，通过赋特殊值、转化等手段，归结到函数单调性的定义上去解决．
二是奇偶性，这类题的入手点是函数奇偶性的定义，解题时抓住定义，实现问题的转化．
三是不等式，一般要先研究函数的性质，再转化为一般的不等式进行解答．
例5 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)≥4的解集．







【跟踪训练】5定义在R上的函数f(x)，满足对∀x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x的取值范围．




【当堂达标】
1.（多选）若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　)
A．是减函数 B．是增函数 C．有最大值0 D．有最小值0
2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) A. B. C. D.
3.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．

4.设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．


5.已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．




6.函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.





【课堂小结】
一．题型：
1.利用奇偶性，求函数的解析式；
2.利用奇偶性和单调性比较大小；
3.利用奇偶性和单调性比较大小解不等式．
二．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
1.奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
2.偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
三．数学思想：数形结合
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．



【参考答案】
【自主学习】
0 一致 相反
【经典例题】
例1 解： 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
【跟踪训练】1 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝
例2 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
【跟踪训练】2 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
例3 f(－π)>f(3)>f(－2) 解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
【跟踪训练】3 C 解析：因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f ≥ f .
例4 解：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2) 又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
【跟踪训练】4 解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.∴实数m的取值范围是.
例5 解：(1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；
再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.
对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
∴f(－x)＝f(x)．
又∵函数f(x)的定义域关于原点对称，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.
又∵当x>1时，f(x)>0，
∴f>0.
而f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2.
又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数，且在(0,4]上是增函数，
∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，
∴原不等式转化为f(3x－2)≥f(16)．
又∵函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴原不等式又转化为|3x－2|≥16，即3x－2≥16或3x－2≤－16，
∴不等式f(3x－2)≥4的解集为{x.
【跟踪训练】5 解：(1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0，
令x1＝x，x2＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)因为f(4)＝1，所以f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，
所以原不等式化为f(x－1) 又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(0)＝0且f(x)是奇函数，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，因此x－1<8，
所以x<9，所以实数x的取值范围是(－∞，9)．
【当堂达标】
1.BC 解析：由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选BC.
2.A解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|) ∴|2x－1|<，解得 3.解：设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴f(x)＝
4.解：由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝2＋>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，
所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.
综上，实数a的取值范围是.
5.解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10) 又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.
故a的取值范围为(6，＋∞)．
6.(1)解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝.
∴b＝－b，∴b＝0.∵f＝，∴＝，∴a＝1.∴函数解析式为f(x)＝ (－1 (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1 f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵－10，(1＋x)(1＋x)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) (3)解　∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1) ∵f(x)为(－1,1)上的增函数，∴　解得0 ∴不等式的解集为.