2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置备课ppt课件

这是一份2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置备课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了1代数法，①△＞0，直线l与圆C相交，方程有两不等实根，②△＝0，直线l与圆C相切，方程有两个相等实根，③△＜0，直线l与圆C相离，方程无实数根等内容，欢迎下载使用。

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.5.1 直线与圆的位置关系
我们知道，直线与圆有三种位置关系: (1) 直线与圆相交，有两个公共点; (2) 直线与圆相切，只有一个公共点; (3) 直线与圆相离，没有公共点.
思考 在初中, 我们怎样判断直线与圆的位置关系? 根据上述定义, 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?
下面，我们通过具体例子进行研究.
例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长.
判断直线与圆位置关系的方法：
消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程.
利用一元二次方程的判别式△确定解的情况, 判断直线与圆位置关系：
在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系, 可以联立它们的方程, 通过方程组
若相交, 可以由方程组(1)解得两交点坐标利用两点间的距离公式求得弦长.
已知直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 设圆心C到直线l的距离为d，则有
根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得圆心到直线的距离d, 通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系. 若相交, 则可利用勾股定理求得弦长.
若直线l与圆C相交, 则弦长公式为
例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程.
2. 已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切, 求圆C的方程.
注意： 1. 求圆的切线方程时一定要对切线斜率存在与否进行讨论, 否则有可能会漏解； 2. 求切线方程判定切线所过的点是在圆上还是在圆外，再设方程求解.
1. 过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_________________.
x=3或4x-3y-15=0
2. 过点P(1, 3)与圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10相切的切线方程为____________.
(1)求过已知点的圆的切线的方法①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程．②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时要先判定斜率是否存在，否则可能会漏解.　
(2)求切线长最小值的两种方法①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
直线与圆相交时弦长的两种求法：
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有
其中k为直线l的斜率, a是方程组消元后的二次方程的二次项系数, ∆是判别式.
3. 判断直线2x－y＋2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.
【巩固训练1】若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有: ①相交; ②相切; ③相离.试分别求实数a的取值范围．
(2) 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点, 则实数a的取值范围是 (　 )A．[－3,－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞,－3]∪[1,＋∞)
【巩固训练2】 (1) 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为
由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有
所以支柱A2P2的高度约为3.86m.
1. 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程.
由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 7.2), (18.7, 0)，则有
2. 某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高4m. 现有一船, 宽10m, 水面以上高3m. 这条船能否从桥下通过?
解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为
因为船在水面以上的高度为3m，3<3.1，
所以该船可以从船下穿过.
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险?
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
联立直线l与圆O的方程，消去y，得
由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论. 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步：建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何要素, 如点、直线、圆, 把平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算, 解决代数问题;第三步：把代数运算的结果“ 翻译”成几何结论.
3. 在一个平面上, 机器人从与点C(5, －3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行, 在行进过程中保持与点C的距离不变, 它在行进过程中到过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少?
解：依题意得, 机器人在以C(5,－3)为圆心, 9为半径的圆上运动, 其圆的方程为
经过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线方程为
∴点C到直线AB的距离为
∴圆C上的点到直线AB的最近距离为d＋r＝4.44,最远距离为d－r＝22.44.
(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
过一点与圆相切的切线方程问题：
(1) 过圆上一点与圆相切的切线方程求法：
【例1】过圆C: x2＋y2＝10上一点P(1, 3), 且与圆C相切的切线方程为__________.
一般地, 过圆C: x2＋y2＝r2上一点P(x0, y0), 且与圆C相切的切线方程为
【例2】过圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10上一点P(1, 3), 且与圆C相切的切线方程为______________.
一般地, 过圆C: (x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0, y0), 且与圆C相切的切线方程为
过圆(x－a)2＋ (y－b)2＝r2上一点M(x0 , y0)的切线方程：
特别地，过圆x2＋y2＝r2上点M(x0 , y0)的切线方程：
【例3】过点P(1, 1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为________________.
y=1或3x-4y+1=0
注意：此种情况一定要对切线斜率存在与否进行讨论, 否则有可能会漏解；还有区分切线所过的点是否在圆上, 只需验证点的坐标是否满足圆的方程即可.
(2) 过圆外一点与圆相切的切线方程求法：
【变式】过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_____________.
利用数形结合思想探求与圆有关的最值问题：