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初中数学人教版七年级上册4.3.1 角教学设计及反思
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这是一份初中数学人教版七年级上册4.3.1 角教学设计及反思，共16页。
4.3 角
4.3.1 角
(见学生用书P106)
1.通过生活中的实例认识角,明确角的定义及角的多种表示方法.
2.明白平角和周角的意义.
3.正确掌握“度、分、秒”的互化,会进行角度的换算.
◎重点:用不同方法表示一个角.
◎难点:角度的换算.
同学们,你们打过台球吗?看过斯诺克比赛吗?用球杆击打主球,当主球与目标球相撞后,主球行进路线和目标球行进路线的夹角叫做分离角.可见,如果要进球,角度是非常重要的.这节课我们就来学习角.
角的认识
阅读教材本课时“思考”及之前的内容,回答下列问题.
1.有公共端点的两条 射线 组成的图形叫做角,这个公共端点是角的 顶点 ,这两条射线是角的两条 边 .
2.角可以看作由一条射线绕着它的端点 旋转 而形成的图形.
3.如图,射线OA绕点O旋转,当终边OB与始边OA成一条直线时,形成 平 角;继续旋转,当OB与OA重合时,形成 周 角.
4.角是怎么表示的?你有几种方法?说出来和大家一起分享.
用符号“∠”表示角,这个符号读作“角”.
角有四种表示方法.
①用三个大写字母表示,表示顶点的字母写在中间,如图1中 ∠AOB ;
②角的顶点处只有一个角时,也可以用表示顶点的一个大写字母表示,如图1记作 ∠O ;
③在角内画一条弧线,用一个数字表示,如图2中用 ∠1 表示;
④在角内画一条弧线,用一个希腊字母表示,如图3记作 ∠α .
图1 图2 图3
注意:在用三个大写字母表示角时,要把表示顶点的字母写在 中间 .
下列图形中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是(B)
A B C D
角度的换算
阅读教材本课时“思考”之后的内容,回答下列问题.
1.角的度量单位是 度 、 分 、 秒 ,进制是 60 .
2.1周角= 360 °,1平角= 180 °,1°= 60 ',1'= 60 ″.
30.6°=30° 36 ';23°30'= 23.5 °.
·导学建议·
通过以上知识点的学习达成学习目标.对于60进制的教学应让学生类比时间的换算学习角度的换算.
角的多种表示方法
1.如图,思考:∠O代表的是∠α还是∠β?还是∠AOC?能将∠α、∠β或∠AOC记为∠O吗?
不能,因为以点O为顶点的角有三个;∠O无法表示一个已知角.
变式演练 如图,下列表述不正确的是(D)
A.∠1可表示为∠BAC
B.∠2可表示为∠DAC
C.∠1+∠2可表示为∠BAD
D.∠DAB可表示∠A
方法归纳交流 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时,其中任意一个角都不能只用一个大写的英文字母来表示.
角度的换算
2.(1)把57.32°化成用度、分、秒表示的角;
(2)把10°6'36″化为用度表示的角.
解:(1)57.32°=57°19'12″.
(2)10°6'36″=10.11°.
有关钟表中角度的计算
3.玲玲每天早上都是6点10分起床,这时钟表上时针和分针的夹角为(B)
A.120° B.125° C.130° D.135°
变式演练 若时针由2点30分走到2点55分,问时针、分针各转过多大的角度?
解:分针转过360°60×(55-30)=6°×25=150°;时针转过360°12×60×(55-30)=12.5°.
方法归纳交流 时钟一圈有12小时,即12个大格.时针每经过1小时,走1大格,旋转30°.分针走一圈代表60分钟,有60小格.分针每分钟走1小格,旋转6°,时针每分钟走112小格,旋转0.5°.
·导学建议·
对于任务驱动三的学习可以用多媒体展示一张时钟的图片,让学生们观察大格、小格以及换算它们所占的角度.
1.如图,下列说法中不正确的是(D)
A.∠1与∠AOB是同一个角
B.∠α与∠COB是同一个角
C.图中共有三个角:∠AOB,∠BOC,∠AOC
D.∠AOC可以用∠O来表示
2.计算:1800'=(D)
A.10° B.18°
C.20° D.30°
3.图中一共有 6 个角.
4.《国家宝藏》节目将于周日19:30播出,此时时钟上的分针与时针所成的角为 45 度.
5.35.15°= 35 ° 9 ' 0 ″;
12°15'36″= 12.26 °.
见《分层作业本》P71
角度的进制是(D)
A.2 B.8 C.10 D.60
如图,下列表示∠β的方法中,正确的是(C)
A.∠C
B.∠D
C.∠ADB
D.∠BAC
下列说法正确的是(C)
A.两条相交直线组成的图形叫做角
B.有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C.一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角
D.角是从同一点引出的两条射线
若∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°,则(A)
A.∠A>∠B>∠C
B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B
D.∠C>∠A>∠B
如图,下列说法错误的是(D)
A.∠ABC就是∠EBC
B.∠BCA就是∠DCB
C.∠A就是∠EAD
D.∠AEC就是∠E
(1)用度、分、秒表示:①123.38°= 123°22'48″ ;②1534度= 15°45' .
(2)用度表示:51°25'48″= 51.43° .
(1)用10倍放大镜看30°的角,你观察到的角是 .
(2)用10倍放大镜看50°的角,60°的角,你观察到的角是 , .
由(1),(2),你能得到什么结论?请把你的结论让同学们进行验证,看是否正确,试着说明理由.
解:(1)30°.(2)50°,60°.角度不变,理由:放大镜只是把图形放大,但不能把角度放大.
(1)从1点15分到1点35分,时钟的分针与时针各转过了多大角度?
(2)1点20分时,时钟的时针与分针的夹角是几度?2点15分时,时钟的时针与分针的夹角又是几度?
解:(1)从1点15分到1点35分,分针共走了20小格.所以分针转过的角度是(35-15)×360°60=120°,
时针转过的角度是112×120°=10°.
(2)因为分针每分钟走1小格,时针每分钟走112小格,
所以1点20分时,时针与分针的夹角是[20-(5+112×20)]×360°60=80°.
2点15分时,时针与分针的夹角是[15-(10+112×15)]×360°60=22.5°.
观察下图,回答下列问题:
(1)在图①中有几个角?
(2)在图②中有几个角?
(3)在图③中有几个角?
(4)以此类推,如图④,若一个角共有n条射线,此时共有多少个角?
解:(1)1;(2)3;(3)6;(4)角有n条射线时,则角的个数为n(n-1)2.
4.3.2 角的比较与运算
(见学生用书P108)
1.能通过作图比较不同角的大小,进而体会数形结合思想.
2.知道一副三角板的特殊角,能通过叠放三角板得到其他的角.
3.知道角平分线的概念,能将角进行等分.
◎重点:角的大小比较,角平分线的概念.
◎难点:三角板中的特殊角.
类比线段,我们如何比较两个角的大小呢?
我们可以用度量法(用量角器),也可以用叠合法(将一个角的一边和另一角的一边重合,其余的边在重合边的同一侧,由此比较大小).
类比线段的中点与线段的等分点,角度也有角平分线和等分线.
这节课我们将学习关于角的知识.
角度比较大小
比较两个角的大小有两种方法:度量法和叠合法.在几何图形中,一个角可以看作另外几个角的和与差.
角度的等分
阅读教材相关内容,回答下列问题.
1.揭示概念:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的 射线 ,叫做这个角的平分线;类似地,可以将角分成三个相等的角,叫做角的 三等分线 .
2.思考:角的平分线只有 1 条,三等分线有 2 条,四等分线有 3 条……n等分线有 (n-1) 条.
·导学建议·
三角板的角度叠放,应引导学生自主思考.对于角平分线的概念,主要是让学生动手折叠纸片,结合图形来认识和理解,不要求用尺规作图.
·学习小助手·
类比两条线段的长短的方法,理解比较两个角的大小的两种方法.
1.如图,OB是 ∠AOC 的平分线,OC是 ∠AOD 的平分线,∠AOD= 60° ,∠BOD= 45° .
2.如图,其中最大的角是 ∠AOD ,∠DOC、∠DOB、∠DOA的大小关系是 ∠DOA>∠DOB>∠DOC ,∠AOC是 ∠AOB 与 ∠BOC 的和,或 ∠AOD 与 ∠COD 的差.
角的比较
1.如图,已知∠AOB和∠A'O'B',请你比较它们的大小.
(1)方法一:用量角器量出∠AOB= 45 °,
∠A'O'B'= 32 °,所以∠AOB > ∠A'O'B'.
(2)方法二:如图,将∠A'O'B'叠合到∠AOB上来比较,把顶点O'和顶点O重合,边O'B'和边OB也重合,边O'A'和边OA落在重合边的同侧.此时,边O'A'落在∠AOB的 内部 ,所以∠AOB > ∠A'O'B'.
(3)思考:在方法二中,O'A'落在哪里,可得出∠AOB=∠A'O'B'?∠AOB<∠A'O'B'?
当O'A'与OA重合时,∠AOB=∠A'O'B';当O'A'落在∠AOB的外部时,∠AOB<∠A'O'B'.
方法归纳交流 当用叠合法比较两个角的大小时,一定要使两个角的顶点和一边分别重合,另一边落在重合边的同旁.
角的和差
2.观察图形并回答问题.
(1)图中共有几个角?
3个分别为∠AOC,∠AOB,∠BOC.
(2)填空:∠AOC= ∠AOB + ∠BOC ;∠AOB= ∠AOC - ∠BOC ;∠BOC= ∠AOC - ∠AOB .可见,角度可以做加法与 减法 运算.
3.一副三角板中的角有 30° , 45° , 60° , 90° .思考:这些角通过加法与减法能够得到哪些角?
15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等.
变式演练 如图,已知∠AOB=165°,∠AOC=∠BOD=90°,求∠COD的度数.你有几种方法?
解:方法一:∠BOC=∠AOB-∠AOC=165°-90°=75°,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-75°=15°.
方法二:∠AOC+∠BOD=180°①,∠AOB=165°②,①、②两者之差即为∠COD的度数,所以∠COD=180°-165°=15°.
角的平分线
4.如图,已知∠BOD=2∠AOB,OC是∠BOD的平分线,试表示出图中相等的角.
解:因为∠BOD=2∠AOB,OC是∠BOD的平分线,所以∠DOC=∠COB=∠AOB,所以∠DOC+∠BOC=∠BOC+∠AOB,即∠BOD=∠AOC.
变式演练 若上图中,∠COD=∠AOB,试表示出图中相等的角.
解:∠BOD=∠AOC.
角的运算
计算:(1)40°30'-23°45';
(2)21°17'×5;
(3)49°29'52″÷4.
解:(1)40°30'-23°45'=39°90'-23°45'=16°45'.
(2)21°17'×5=105°85'=106°25'.
(3)49°29'52″÷4=12°+89'52″÷4=12°+22'+112″÷4=12°+22'+28″=12°22'28″.
方法归纳交流 度、分、秒的计算作加减时,要将度与度,分与分,秒与秒分别相加减.作乘除法时,也可按照度、分、秒依次相乘除.
·导学建议·
三角板的角度叠放应引导学生自主思考,对于角平分线的性质主要让学生动手折叠纸片来理解.
1.将一副三角板按如图所示的方式放置,则∠AOB的大小为(D)
A.75° B.45° C.30° D.15°
2.如图,点A、O、B在同一直线上,∠AOC=50°24',则∠BOC= 129°36' .
3.如果∠AOB=60°,∠AOC=20°,那么∠BOC的度数是 40°或80° .
4.如图,在下面的横线上填上适当的角.
(1)∠AOC=∠ AOB +∠ BOC .
(2)∠AOB=∠ AOC -∠ BOC ;或∠AOB=∠ AOD -∠ BOD .
(3)若∠AOC=∠BOD,则∠AOB = ∠COD(填“>”、“<”或“=”).
(4)若∠AOB=∠COD,则∠AOC = ∠BOD(填“>”、“<”或“=”).
见《分层作业本》P72
如图,用三角板比较∠A与∠B的大小,其中正确的是(B)
A.∠A>∠B
B.∠A<∠B
C.∠A=∠B
D.没有量角器,无法确定
如果∠α和∠β的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且∠α>∠β,那么∠α的另一边落在∠β的(C)
A.另一边上 B.内部
C.外部 D.以上结论都不对
利用一副三角板上已知度数的角,不能画出的角是(B)
A.15° B.100°
C.165° D.135°
如图,∠AOB=60°,射线OC平分∠AOB,以OC为一边作∠COP=15°,则∠BOP=(D)
A.15° B.45°
C.15°或30° D.15°或45°
第4题图 第5题图
如图,∠AOB=120°,OC是∠AOB内部任意一条射线,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,下列叙述正确的是(A)
A.∠AOD+∠BOE=60°
B.∠AOD=12∠EOC
C.∠BOE=2∠COD
D.∠DOE的度数不能确定
如图,这是一副三角尺拼成的图案,则∠BAD= 120° ,∠DEC= 135° .
计算:(1)175°16'30″-47°30'÷6;
(2)118°12'-37°37'×2.
解:(1)原式=175°16'30″-7°55'
=167°21'30″.
(2)原式=118°12'-75°14'
=117°72'-75°14'
=42°58'.
如图,OA为圆的半径,以OA为角的一边,O为角的顶点,画∠AOB=72°,OB交圆周于点B,然后依次画∠BOC=∠COD=∠DOE=72°,分别交圆周于点C,D,E,每隔一点连接两点之间的线段,观察所成的图形是一个什么图案.
解:五角星.
已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=50°,∠BOC=10°,求∠AOC的度数.解:有两种情况:
第一种情况:如图1所示.
∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°.
第二种情况:如图2所示,
∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-10°=40°.
如图,∠AOB=90°,∠AOC=46°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.
解:因为∠AOB=90°,∠AOC=46°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+46°=136°.
因为ON平分∠BOC,OM平分∠AOC,
所以∠CON=12∠BOC=12×136°=68°,
∠COM=12∠AOC=12×46°=23°,
所以∠MON=∠CON-∠COM=68°-23°=45°.
如图,已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠AOD=α,∠MON=β,求∠BOC的大小.(用含α、β的式子表示)
解:因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD,所以∠AOM=∠BOM=12∠AOB,∠CON=∠DON=12∠COD.
因为∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-12∠AOB-12∠COD=∠MON-12(∠AOB+∠COD)=∠MON-12(∠AOD-∠BOC)=β-12(α-∠BOC)=β-12α+12∠BOC,所以12∠BOC=β-12α,故∠BOC=2β-α.
已知OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线.
(1)如图1,若∠AOD=156°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,∠BOD=96°,则∠MON的度数为 .
(2)如图2,若∠AOD=m°,∠NOC=23°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,求∠COM的度数(用含m的式子表示).
解:(1)78°.
提示:因为∠AOD=156°,∠BOD=96°,
所以∠AOB=156°-96°=60°.
因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
所以∠BOM=30°,∠BON=48°,
所以∠MON=∠BOM+∠BON=78°.
(2)因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
所以∠BOM=12∠AOB,∠BON=12∠BOD.
因为∠MON=∠BOM+∠BON=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=12m°,
所以∠COM=∠MON-∠CON=12m°-23°.
4.3.3 余角和补角
(见学生用书P111)
1.知道互为余角、互为补角的概念,能求一个角的余角和补角.
2.明确余角、补角的性质定理,并能够运用其解决相关数学问题.
3.知道方向角的定义,会画方向角,能用方向角描述物体相对于某点的方向.
◎重点:余角、补角的概念和性质.
◎难点:方向角问题.
航海是指人类在海上航行,跨越海洋,由一方陆地去到另一方陆地的活动.在从前航海是一种冒险行为,因为人类的地理知识有限,彼岸是不可知的世界.
中国汉代时已远航至印度,把当时罗马帝国与中国联系起来.唐代时为扩大海外贸易,开辟了海上丝绸之路,船舶远航到亚丁湾附近.
大家知道在航海中怎样确定方向吗?这就是本节课要学习的方向角.方向角中的角度都有什么关系?互余与互补可以帮助我们进行辨别.
互余和互补的概念
阅读教材“思考”之前的内容,回答下列问题.
1.如果两个角的和等于 90° ,就说这两个角互为余角,即其中任意一个角都是另一个角的 余角 .
2.如果两个角的和等于 180° ,就说这两个角互为补角,即其中任意一个角都是另一个角的 补角 .
3.思考:(1)互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边呢?
不一定.
(2)∠1+∠2=90°,能否说∠1是余角,∠2是余角呢?为什么?∠1+∠2=180°呢?
不能,应说成∠1和∠2互余,∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.互余、互补是针对两个角而言.∠1与∠2互补.
互余与互补的性质
阅读教材“例4”之前的内容,回答下列问题.
1.已知∠1与∠α互余,∠2与∠β互余,即∠1+∠α= 90° ,∠2+∠β= 90° ,如果∠α=∠β,即∠α与∠β是等角,那么∠1与∠2 相等 .
2.已知∠1与∠α互补,∠2与∠β互补,即∠1+∠α= 180° ,∠2+∠β= 180° ,如果∠α=∠β,即∠α与∠β是等角,那么∠1与∠2 相等 .
归纳总结 同角 ( 等角 )的余角相等, 同角 ( 等角 )的补角相等.
方向角中的互余与互补
阅读教材“例4”,回答下列问题.
1.揭示概念:方向角通常是以正南、正北方向为角的始边,另一边为角的终边,通常表达成北(南)偏东(西)××度.
2.明确概念:东北方向,即 北偏东 45°;东南方向,即 南偏东 45°;西北方向,即 北偏西 45°;西南方向,即 南偏西 45°.
如图,点A位于点O的北偏西65°,找找其中有哪些角互为余角,哪些角互为补角.
答案略.
·导学建议·
方向角、一副直角三角板中都有很多互余与互补的关系.说明方向角在航海等领域的重要作用,有利于激发学生的学习兴趣.
余角和补角的有关计算
1.25°的余角和补角分别是多少度?一个角的补角比它的余角大多少度?
解:65°,155°.设这个角的度数为x,则它的补角的度数为180-x,它的余角的度数为90-x,(180-x)-(90-x)=90,即这个角的补角比它的余角大90°.
变式演练 一个角的余角比它的补角的29还多1°,求这个角的度数.
(方法指导:在解决几何问题时,常设未知数列方程求解,即将几何问题转化为代数问题)
解:设这个角的度数为x°,则90-x=29(180-x)+1,解得x=63.
答:这个角的度数为63°.
余角和补角的性质
2.如图,点O是直线AB上一点,OC平分∠AOB,∠DOE=90°,∠AOD和∠COE相等吗?为什么?
解:∠AOD=∠COE.
理由:因为OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC=90°,所以∠AOD+∠COD=90°.
又因为∠COE+∠COD=90°,所以∠AOD=∠COE.
变式演练 除直角外,上题中还有哪些相等的角?请说明理由.
解:∠COD=∠BOE.
理由:因为∠COE+∠COD=90°,∠COE+∠BOE=90°,由同角的余角相等得∠COD=∠BOE.
方法归纳交流 要说明两个角相等,只要说明这两个角是 同一个角 的余角(或补角)即可.
方向角的实际应用
3.如图,在一幅学校的地图上,有教学楼、食堂、图书馆三地,但地图被墨迹污染,使得
图书馆的具体位置看不清,只知道图书馆在教学楼的东北方向,在食堂的南偏西60°方向,你能确定图书馆的位置吗?
解:如图,以教学楼为标准画北偏东45°的射线,以食堂为标准画南偏西60°的射线,两条射线的交点即为图书馆的位置.
·导学建议·
互余和互补主要反映的是角的数量关系,而不是角的位置关系.通过合作探究的学习,更好地达成本课时学习目标.
1.下列说法正确的是(A)
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个角的补角一定大于这个角
C.锐角和钝角一定互补
D.两个锐角一定互为余角
2.如图,甲、乙两人同时从A地出发,沿图示方向分别步行前进到B、C两地,现测得∠BAC为100°,B地位于A地的北偏东50°方向,则C地位于A地的(D)
A.北偏西50°方向
B.北偏西30°方向
C.南偏东50°方向
D.南偏东30°方向
3.如图,∠AOD=∠DOB=∠COE=90°,互补的角有(C)
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
4.若∠α的补角是它的3倍,则∠α的度数为 45° .
见《分层作业本》P75
如果两个角的和是90°,那么这两个角互为 余角 .如果两个角的和是 180° ,那么这两个角互为补角.
32°的余角为 58° ,137°的补角为 43° .
如果两个角互补,那么下列说法正确的是(C)
A.这两个角都是锐角
B.这两个角都是钝角
C.一个是钝角,一个是锐角或两个都是直角
D.以上说法都有可能
A看B的方向是北偏东30°,那么B看A的方向是(D)
A.南偏东60° B.南偏西60°
C.南偏东30° D.南偏西30°
如图,∠AOE=∠COD=90°.
(1)写出图中与∠EOC互余的角是 ∠COA,∠DOE .
(2)∠1与∠2的关系是 相等 ,因为 同角或等角的余角相等 .
(3)与∠2互补的角是 ∠AOD .
一个角的余角和补角也互为补角,这个角的度数是(C)
A.90° B.75° C.45° D.15°
如图,已知∠1>∠2,那么∠2与12(∠1-∠2)之间的关系是(B)
A.互补
B.互余
C.和为45°
D.和为22.5°
在同一平面内,∠AOB=70°,∠AOC是∠AOB的余角,OD平分∠BOC,则∠DOC= 45°或25° .
如图,AOB是一条直线,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(3)图中有哪几对角互为补角?
解:(1)因为∠COD与∠DOE互余,∠AOE与∠DOE互余,所以∠AOE=∠COD.设∠AOE=∠COD=x,则∠BOC=3x.
由x+3x=90,得x=22.5°,即∠COD=22.5°.
(2)∠AOE、∠COD与∠DOE、∠BOC互余.
(3)∠AOE、∠COD与∠BOE互补,∠BOC、∠DOE与∠AOC互补,∠AOD与∠BOD互补.
如图,OA是表示南偏西30°方向上的一条射线,仿照这条射线,画出表示下列方向的射线:(1)北偏西20°;(2)南偏东60°;(3)西南方向(即南偏西45°).表示(1)、(2)方向的两条射线所成的角是多少度?表示(2)、(3)方向的两条射线所成的角呢?
解:如图,表示(1)、(2)方向的两条射线所成的角是140°;表示(2)、(3)方向的两条射线所成的角是105°.
如图,∠AOM与∠MOB互为余角,且∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数.
(2)如果已知∠AOB=80°,其他条件不变,求∠MON的度数.
(3)如果已知∠BOC=60°,其他条件不变,求∠MON的度数.
(4)从(1)、(2)、(3)中你能看出有什么规律.
解:(1)45度.
(2)40度.
(3)45度.
(4)∠MON的大小总等于∠AOB的一半,而与锐角∠BOC的大小变化无关.
以直线AB上的点O为端点作射线OC,使∠BOC=60°,将直角三角形DOE放置在直线AB上方,且直角顶点放在点O处,∠DOE=90°.
图1 图2 图3
(1)若直角三角形DOE的边OD在射线OB上(图1),求∠COE的度数.
(2)将直角三角形DOE绕点O按如图所示放置,使得OE所在射线平分∠AOC(图2),说明OD所在射线是∠BOC的平分线.
(3)当直角三角形DOE在直线AB上方某个位置时,恰好使得∠COD∶∠AOE=1∶2(图3),求∠BOE的度数.
解:(1)因为∠BOE=∠COE+∠COB=90°,∠COB=60°,所以∠COE=30°.
(2)因为OE平分∠AOC,所以∠COE=∠AOE=12∠COA.
因为∠EOD=90°,所以∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,
所以∠COD=∠DOB,所以OD所在射线是∠BOC的平分线.
(3)设∠COD=x,则∠AOE=2x.
因为∠DOE=90°,∠BOC=60°,所以3x=30或2x+90-x=120,
所以x=10或30,所以∠AOE=20°或60°,所以∠BOE=160°或120°.
4.3 角
4.3.1 角
(见学生用书P106)
1.通过生活中的实例认识角,明确角的定义及角的多种表示方法.
2.明白平角和周角的意义.
3.正确掌握“度、分、秒”的互化,会进行角度的换算.
◎重点:用不同方法表示一个角.
◎难点:角度的换算.
同学们,你们打过台球吗?看过斯诺克比赛吗?用球杆击打主球,当主球与目标球相撞后,主球行进路线和目标球行进路线的夹角叫做分离角.可见,如果要进球,角度是非常重要的.这节课我们就来学习角.
角的认识
阅读教材本课时“思考”及之前的内容,回答下列问题.
1.有公共端点的两条 射线 组成的图形叫做角,这个公共端点是角的 顶点 ,这两条射线是角的两条 边 .
2.角可以看作由一条射线绕着它的端点 旋转 而形成的图形.
3.如图,射线OA绕点O旋转,当终边OB与始边OA成一条直线时,形成 平 角;继续旋转,当OB与OA重合时,形成 周 角.
4.角是怎么表示的?你有几种方法?说出来和大家一起分享.
用符号“∠”表示角,这个符号读作“角”.
角有四种表示方法.
①用三个大写字母表示,表示顶点的字母写在中间,如图1中 ∠AOB ;
②角的顶点处只有一个角时,也可以用表示顶点的一个大写字母表示,如图1记作 ∠O ;
③在角内画一条弧线,用一个数字表示,如图2中用 ∠1 表示;
④在角内画一条弧线,用一个希腊字母表示,如图3记作 ∠α .
图1 图2 图3
注意:在用三个大写字母表示角时,要把表示顶点的字母写在 中间 .
下列图形中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是(B)
A B C D
角度的换算
阅读教材本课时“思考”之后的内容,回答下列问题.
1.角的度量单位是 度 、 分 、 秒 ,进制是 60 .
2.1周角= 360 °,1平角= 180 °,1°= 60 ',1'= 60 ″.
30.6°=30° 36 ';23°30'= 23.5 °.
·导学建议·
通过以上知识点的学习达成学习目标.对于60进制的教学应让学生类比时间的换算学习角度的换算.
角的多种表示方法
1.如图,思考:∠O代表的是∠α还是∠β?还是∠AOC?能将∠α、∠β或∠AOC记为∠O吗?
不能,因为以点O为顶点的角有三个;∠O无法表示一个已知角.
变式演练 如图,下列表述不正确的是(D)
A.∠1可表示为∠BAC
B.∠2可表示为∠DAC
C.∠1+∠2可表示为∠BAD
D.∠DAB可表示∠A
方法归纳交流 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时,其中任意一个角都不能只用一个大写的英文字母来表示.
角度的换算
2.(1)把57.32°化成用度、分、秒表示的角;
(2)把10°6'36″化为用度表示的角.
解:(1)57.32°=57°19'12″.
(2)10°6'36″=10.11°.
有关钟表中角度的计算
3.玲玲每天早上都是6点10分起床,这时钟表上时针和分针的夹角为(B)
A.120° B.125° C.130° D.135°
变式演练 若时针由2点30分走到2点55分,问时针、分针各转过多大的角度?
解:分针转过360°60×(55-30)=6°×25=150°;时针转过360°12×60×(55-30)=12.5°.
方法归纳交流 时钟一圈有12小时,即12个大格.时针每经过1小时,走1大格,旋转30°.分针走一圈代表60分钟,有60小格.分针每分钟走1小格,旋转6°,时针每分钟走112小格,旋转0.5°.
·导学建议·
对于任务驱动三的学习可以用多媒体展示一张时钟的图片,让学生们观察大格、小格以及换算它们所占的角度.
1.如图,下列说法中不正确的是(D)
A.∠1与∠AOB是同一个角
B.∠α与∠COB是同一个角
C.图中共有三个角:∠AOB,∠BOC,∠AOC
D.∠AOC可以用∠O来表示
2.计算:1800'=(D)
A.10° B.18°
C.20° D.30°
3.图中一共有 6 个角.
4.《国家宝藏》节目将于周日19:30播出,此时时钟上的分针与时针所成的角为 45 度.
5.35.15°= 35 ° 9 ' 0 ″;
12°15'36″= 12.26 °.
见《分层作业本》P71
角度的进制是(D)
A.2 B.8 C.10 D.60
如图,下列表示∠β的方法中,正确的是(C)
A.∠C
B.∠D
C.∠ADB
D.∠BAC
下列说法正确的是(C)
A.两条相交直线组成的图形叫做角
B.有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C.一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角
D.角是从同一点引出的两条射线
若∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°,则(A)
A.∠A>∠B>∠C
B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B
D.∠C>∠A>∠B
如图,下列说法错误的是(D)
A.∠ABC就是∠EBC
B.∠BCA就是∠DCB
C.∠A就是∠EAD
D.∠AEC就是∠E
(1)用度、分、秒表示:①123.38°= 123°22'48″ ;②1534度= 15°45' .
(2)用度表示:51°25'48″= 51.43° .
(1)用10倍放大镜看30°的角,你观察到的角是 .
(2)用10倍放大镜看50°的角,60°的角,你观察到的角是 , .
由(1),(2),你能得到什么结论?请把你的结论让同学们进行验证,看是否正确,试着说明理由.
解:(1)30°.(2)50°,60°.角度不变,理由:放大镜只是把图形放大,但不能把角度放大.
(1)从1点15分到1点35分,时钟的分针与时针各转过了多大角度?
(2)1点20分时,时钟的时针与分针的夹角是几度?2点15分时,时钟的时针与分针的夹角又是几度?
解:(1)从1点15分到1点35分,分针共走了20小格.所以分针转过的角度是(35-15)×360°60=120°,
时针转过的角度是112×120°=10°.
(2)因为分针每分钟走1小格,时针每分钟走112小格,
所以1点20分时,时针与分针的夹角是[20-(5+112×20)]×360°60=80°.
2点15分时,时针与分针的夹角是[15-(10+112×15)]×360°60=22.5°.
观察下图,回答下列问题:
(1)在图①中有几个角?
(2)在图②中有几个角?
(3)在图③中有几个角?
(4)以此类推,如图④,若一个角共有n条射线,此时共有多少个角?
解:(1)1;(2)3;(3)6;(4)角有n条射线时,则角的个数为n(n-1)2.
4.3.2 角的比较与运算
(见学生用书P108)
1.能通过作图比较不同角的大小,进而体会数形结合思想.
2.知道一副三角板的特殊角,能通过叠放三角板得到其他的角.
3.知道角平分线的概念,能将角进行等分.
◎重点:角的大小比较,角平分线的概念.
◎难点:三角板中的特殊角.
类比线段,我们如何比较两个角的大小呢?
我们可以用度量法(用量角器),也可以用叠合法(将一个角的一边和另一角的一边重合,其余的边在重合边的同一侧,由此比较大小).
类比线段的中点与线段的等分点,角度也有角平分线和等分线.
这节课我们将学习关于角的知识.
角度比较大小
比较两个角的大小有两种方法:度量法和叠合法.在几何图形中,一个角可以看作另外几个角的和与差.
角度的等分
阅读教材相关内容,回答下列问题.
1.揭示概念:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的 射线 ,叫做这个角的平分线;类似地,可以将角分成三个相等的角,叫做角的 三等分线 .
2.思考:角的平分线只有 1 条,三等分线有 2 条,四等分线有 3 条……n等分线有 (n-1) 条.
·导学建议·
三角板的角度叠放,应引导学生自主思考.对于角平分线的概念,主要是让学生动手折叠纸片,结合图形来认识和理解,不要求用尺规作图.
·学习小助手·
类比两条线段的长短的方法,理解比较两个角的大小的两种方法.
1.如图,OB是 ∠AOC 的平分线,OC是 ∠AOD 的平分线,∠AOD= 60° ,∠BOD= 45° .
2.如图,其中最大的角是 ∠AOD ,∠DOC、∠DOB、∠DOA的大小关系是 ∠DOA>∠DOB>∠DOC ,∠AOC是 ∠AOB 与 ∠BOC 的和,或 ∠AOD 与 ∠COD 的差.
角的比较
1.如图,已知∠AOB和∠A'O'B',请你比较它们的大小.
(1)方法一:用量角器量出∠AOB= 45 °,
∠A'O'B'= 32 °,所以∠AOB > ∠A'O'B'.
(2)方法二:如图,将∠A'O'B'叠合到∠AOB上来比较,把顶点O'和顶点O重合,边O'B'和边OB也重合,边O'A'和边OA落在重合边的同侧.此时,边O'A'落在∠AOB的 内部 ,所以∠AOB > ∠A'O'B'.
(3)思考:在方法二中,O'A'落在哪里,可得出∠AOB=∠A'O'B'?∠AOB<∠A'O'B'?
当O'A'与OA重合时,∠AOB=∠A'O'B';当O'A'落在∠AOB的外部时,∠AOB<∠A'O'B'.
方法归纳交流 当用叠合法比较两个角的大小时,一定要使两个角的顶点和一边分别重合,另一边落在重合边的同旁.
角的和差
2.观察图形并回答问题.
(1)图中共有几个角?
3个分别为∠AOC,∠AOB,∠BOC.
(2)填空:∠AOC= ∠AOB + ∠BOC ;∠AOB= ∠AOC - ∠BOC ;∠BOC= ∠AOC - ∠AOB .可见,角度可以做加法与 减法 运算.
3.一副三角板中的角有 30° , 45° , 60° , 90° .思考:这些角通过加法与减法能够得到哪些角?
15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等.
变式演练 如图,已知∠AOB=165°,∠AOC=∠BOD=90°,求∠COD的度数.你有几种方法?
解:方法一:∠BOC=∠AOB-∠AOC=165°-90°=75°,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-75°=15°.
方法二:∠AOC+∠BOD=180°①,∠AOB=165°②,①、②两者之差即为∠COD的度数,所以∠COD=180°-165°=15°.
角的平分线
4.如图,已知∠BOD=2∠AOB,OC是∠BOD的平分线,试表示出图中相等的角.
解:因为∠BOD=2∠AOB,OC是∠BOD的平分线,所以∠DOC=∠COB=∠AOB,所以∠DOC+∠BOC=∠BOC+∠AOB,即∠BOD=∠AOC.
变式演练 若上图中,∠COD=∠AOB,试表示出图中相等的角.
解:∠BOD=∠AOC.
角的运算
计算:(1)40°30'-23°45';
(2)21°17'×5;
(3)49°29'52″÷4.
解:(1)40°30'-23°45'=39°90'-23°45'=16°45'.
(2)21°17'×5=105°85'=106°25'.
(3)49°29'52″÷4=12°+89'52″÷4=12°+22'+112″÷4=12°+22'+28″=12°22'28″.
方法归纳交流 度、分、秒的计算作加减时,要将度与度,分与分,秒与秒分别相加减.作乘除法时,也可按照度、分、秒依次相乘除.
·导学建议·
三角板的角度叠放应引导学生自主思考,对于角平分线的性质主要让学生动手折叠纸片来理解.
1.将一副三角板按如图所示的方式放置,则∠AOB的大小为(D)
A.75° B.45° C.30° D.15°
2.如图,点A、O、B在同一直线上,∠AOC=50°24',则∠BOC= 129°36' .
3.如果∠AOB=60°,∠AOC=20°,那么∠BOC的度数是 40°或80° .
4.如图,在下面的横线上填上适当的角.
(1)∠AOC=∠ AOB +∠ BOC .
(2)∠AOB=∠ AOC -∠ BOC ;或∠AOB=∠ AOD -∠ BOD .
(3)若∠AOC=∠BOD,则∠AOB = ∠COD(填“>”、“<”或“=”).
(4)若∠AOB=∠COD,则∠AOC = ∠BOD(填“>”、“<”或“=”).
见《分层作业本》P72
如图,用三角板比较∠A与∠B的大小,其中正确的是(B)
A.∠A>∠B
B.∠A<∠B
C.∠A=∠B
D.没有量角器,无法确定
如果∠α和∠β的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且∠α>∠β,那么∠α的另一边落在∠β的(C)
A.另一边上 B.内部
C.外部 D.以上结论都不对
利用一副三角板上已知度数的角,不能画出的角是(B)
A.15° B.100°
C.165° D.135°
如图,∠AOB=60°,射线OC平分∠AOB,以OC为一边作∠COP=15°,则∠BOP=(D)
A.15° B.45°
C.15°或30° D.15°或45°
第4题图 第5题图
如图,∠AOB=120°,OC是∠AOB内部任意一条射线,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,下列叙述正确的是(A)
A.∠AOD+∠BOE=60°
B.∠AOD=12∠EOC
C.∠BOE=2∠COD
D.∠DOE的度数不能确定
如图,这是一副三角尺拼成的图案,则∠BAD= 120° ,∠DEC= 135° .
计算:(1)175°16'30″-47°30'÷6;
(2)118°12'-37°37'×2.
解:(1)原式=175°16'30″-7°55'
=167°21'30″.
(2)原式=118°12'-75°14'
=117°72'-75°14'
=42°58'.
如图,OA为圆的半径,以OA为角的一边,O为角的顶点,画∠AOB=72°,OB交圆周于点B,然后依次画∠BOC=∠COD=∠DOE=72°,分别交圆周于点C,D,E,每隔一点连接两点之间的线段,观察所成的图形是一个什么图案.
解:五角星.
已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=50°,∠BOC=10°,求∠AOC的度数.解:有两种情况:
第一种情况:如图1所示.
∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°.
第二种情况:如图2所示,
∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-10°=40°.
如图,∠AOB=90°,∠AOC=46°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.
解:因为∠AOB=90°,∠AOC=46°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+46°=136°.
因为ON平分∠BOC,OM平分∠AOC,
所以∠CON=12∠BOC=12×136°=68°,
∠COM=12∠AOC=12×46°=23°,
所以∠MON=∠CON-∠COM=68°-23°=45°.
如图,已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠AOD=α,∠MON=β,求∠BOC的大小.(用含α、β的式子表示)
解:因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD,所以∠AOM=∠BOM=12∠AOB,∠CON=∠DON=12∠COD.
因为∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-12∠AOB-12∠COD=∠MON-12(∠AOB+∠COD)=∠MON-12(∠AOD-∠BOC)=β-12(α-∠BOC)=β-12α+12∠BOC,所以12∠BOC=β-12α,故∠BOC=2β-α.
已知OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线.
(1)如图1,若∠AOD=156°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,∠BOD=96°,则∠MON的度数为 .
(2)如图2,若∠AOD=m°,∠NOC=23°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,求∠COM的度数(用含m的式子表示).
解:(1)78°.
提示:因为∠AOD=156°,∠BOD=96°,
所以∠AOB=156°-96°=60°.
因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
所以∠BOM=30°,∠BON=48°,
所以∠MON=∠BOM+∠BON=78°.
(2)因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
所以∠BOM=12∠AOB,∠BON=12∠BOD.
因为∠MON=∠BOM+∠BON=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=12m°,
所以∠COM=∠MON-∠CON=12m°-23°.
4.3.3 余角和补角
(见学生用书P111)
1.知道互为余角、互为补角的概念,能求一个角的余角和补角.
2.明确余角、补角的性质定理,并能够运用其解决相关数学问题.
3.知道方向角的定义,会画方向角,能用方向角描述物体相对于某点的方向.
◎重点:余角、补角的概念和性质.
◎难点:方向角问题.
航海是指人类在海上航行,跨越海洋,由一方陆地去到另一方陆地的活动.在从前航海是一种冒险行为,因为人类的地理知识有限,彼岸是不可知的世界.
中国汉代时已远航至印度,把当时罗马帝国与中国联系起来.唐代时为扩大海外贸易,开辟了海上丝绸之路,船舶远航到亚丁湾附近.
大家知道在航海中怎样确定方向吗?这就是本节课要学习的方向角.方向角中的角度都有什么关系?互余与互补可以帮助我们进行辨别.
互余和互补的概念
阅读教材“思考”之前的内容,回答下列问题.
1.如果两个角的和等于 90° ,就说这两个角互为余角,即其中任意一个角都是另一个角的 余角 .
2.如果两个角的和等于 180° ,就说这两个角互为补角,即其中任意一个角都是另一个角的 补角 .
3.思考:(1)互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边呢?
不一定.
(2)∠1+∠2=90°,能否说∠1是余角,∠2是余角呢?为什么?∠1+∠2=180°呢?
不能,应说成∠1和∠2互余,∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.互余、互补是针对两个角而言.∠1与∠2互补.
互余与互补的性质
阅读教材“例4”之前的内容,回答下列问题.
1.已知∠1与∠α互余,∠2与∠β互余,即∠1+∠α= 90° ,∠2+∠β= 90° ,如果∠α=∠β,即∠α与∠β是等角,那么∠1与∠2 相等 .
2.已知∠1与∠α互补,∠2与∠β互补,即∠1+∠α= 180° ,∠2+∠β= 180° ,如果∠α=∠β,即∠α与∠β是等角,那么∠1与∠2 相等 .
归纳总结 同角 ( 等角 )的余角相等, 同角 ( 等角 )的补角相等.
方向角中的互余与互补
阅读教材“例4”,回答下列问题.
1.揭示概念:方向角通常是以正南、正北方向为角的始边,另一边为角的终边,通常表达成北(南)偏东(西)××度.
2.明确概念:东北方向,即 北偏东 45°;东南方向,即 南偏东 45°;西北方向,即 北偏西 45°;西南方向,即 南偏西 45°.
如图,点A位于点O的北偏西65°,找找其中有哪些角互为余角,哪些角互为补角.
答案略.
·导学建议·
方向角、一副直角三角板中都有很多互余与互补的关系.说明方向角在航海等领域的重要作用,有利于激发学生的学习兴趣.
余角和补角的有关计算
1.25°的余角和补角分别是多少度?一个角的补角比它的余角大多少度?
解:65°,155°.设这个角的度数为x,则它的补角的度数为180-x,它的余角的度数为90-x,(180-x)-(90-x)=90,即这个角的补角比它的余角大90°.
变式演练 一个角的余角比它的补角的29还多1°,求这个角的度数.
(方法指导:在解决几何问题时,常设未知数列方程求解,即将几何问题转化为代数问题)
解:设这个角的度数为x°,则90-x=29(180-x)+1,解得x=63.
答:这个角的度数为63°.
余角和补角的性质
2.如图,点O是直线AB上一点,OC平分∠AOB,∠DOE=90°,∠AOD和∠COE相等吗?为什么?
解:∠AOD=∠COE.
理由:因为OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC=90°,所以∠AOD+∠COD=90°.
又因为∠COE+∠COD=90°,所以∠AOD=∠COE.
变式演练 除直角外,上题中还有哪些相等的角?请说明理由.
解:∠COD=∠BOE.
理由:因为∠COE+∠COD=90°,∠COE+∠BOE=90°,由同角的余角相等得∠COD=∠BOE.
方法归纳交流 要说明两个角相等,只要说明这两个角是 同一个角 的余角(或补角)即可.
方向角的实际应用
3.如图,在一幅学校的地图上,有教学楼、食堂、图书馆三地,但地图被墨迹污染,使得
图书馆的具体位置看不清,只知道图书馆在教学楼的东北方向,在食堂的南偏西60°方向,你能确定图书馆的位置吗?
解:如图,以教学楼为标准画北偏东45°的射线,以食堂为标准画南偏西60°的射线,两条射线的交点即为图书馆的位置.
·导学建议·
互余和互补主要反映的是角的数量关系,而不是角的位置关系.通过合作探究的学习,更好地达成本课时学习目标.
1.下列说法正确的是(A)
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个角的补角一定大于这个角
C.锐角和钝角一定互补
D.两个锐角一定互为余角
2.如图,甲、乙两人同时从A地出发,沿图示方向分别步行前进到B、C两地,现测得∠BAC为100°,B地位于A地的北偏东50°方向,则C地位于A地的(D)
A.北偏西50°方向
B.北偏西30°方向
C.南偏东50°方向
D.南偏东30°方向
3.如图,∠AOD=∠DOB=∠COE=90°,互补的角有(C)
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对
4.若∠α的补角是它的3倍,则∠α的度数为 45° .
见《分层作业本》P75
如果两个角的和是90°,那么这两个角互为 余角 .如果两个角的和是 180° ,那么这两个角互为补角.
32°的余角为 58° ,137°的补角为 43° .
如果两个角互补,那么下列说法正确的是(C)
A.这两个角都是锐角
B.这两个角都是钝角
C.一个是钝角,一个是锐角或两个都是直角
D.以上说法都有可能
A看B的方向是北偏东30°,那么B看A的方向是(D)
A.南偏东60° B.南偏西60°
C.南偏东30° D.南偏西30°
如图,∠AOE=∠COD=90°.
(1)写出图中与∠EOC互余的角是 ∠COA,∠DOE .
(2)∠1与∠2的关系是 相等 ,因为 同角或等角的余角相等 .
(3)与∠2互补的角是 ∠AOD .
一个角的余角和补角也互为补角,这个角的度数是(C)
A.90° B.75° C.45° D.15°
如图,已知∠1>∠2,那么∠2与12(∠1-∠2)之间的关系是(B)
A.互补
B.互余
C.和为45°
D.和为22.5°
在同一平面内,∠AOB=70°,∠AOC是∠AOB的余角,OD平分∠BOC,则∠DOC= 45°或25° .
如图,AOB是一条直线,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(3)图中有哪几对角互为补角?
解:(1)因为∠COD与∠DOE互余,∠AOE与∠DOE互余,所以∠AOE=∠COD.设∠AOE=∠COD=x,则∠BOC=3x.
由x+3x=90,得x=22.5°,即∠COD=22.5°.
(2)∠AOE、∠COD与∠DOE、∠BOC互余.
(3)∠AOE、∠COD与∠BOE互补,∠BOC、∠DOE与∠AOC互补,∠AOD与∠BOD互补.
如图,OA是表示南偏西30°方向上的一条射线,仿照这条射线,画出表示下列方向的射线:(1)北偏西20°;(2)南偏东60°;(3)西南方向(即南偏西45°).表示(1)、(2)方向的两条射线所成的角是多少度?表示(2)、(3)方向的两条射线所成的角呢?
解:如图,表示(1)、(2)方向的两条射线所成的角是140°;表示(2)、(3)方向的两条射线所成的角是105°.
如图,∠AOM与∠MOB互为余角,且∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数.
(2)如果已知∠AOB=80°,其他条件不变,求∠MON的度数.
(3)如果已知∠BOC=60°,其他条件不变,求∠MON的度数.
(4)从(1)、(2)、(3)中你能看出有什么规律.
解:(1)45度.
(2)40度.
(3)45度.
(4)∠MON的大小总等于∠AOB的一半,而与锐角∠BOC的大小变化无关.
以直线AB上的点O为端点作射线OC,使∠BOC=60°,将直角三角形DOE放置在直线AB上方,且直角顶点放在点O处,∠DOE=90°.
图1 图2 图3
(1)若直角三角形DOE的边OD在射线OB上(图1),求∠COE的度数.
(2)将直角三角形DOE绕点O按如图所示放置,使得OE所在射线平分∠AOC(图2),说明OD所在射线是∠BOC的平分线.
(3)当直角三角形DOE在直线AB上方某个位置时,恰好使得∠COD∶∠AOE=1∶2(图3),求∠BOE的度数.
解:(1)因为∠BOE=∠COE+∠COB=90°,∠COB=60°,所以∠COE=30°.
(2)因为OE平分∠AOC,所以∠COE=∠AOE=12∠COA.
因为∠EOD=90°,所以∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,
所以∠COD=∠DOB,所以OD所在射线是∠BOC的平分线.
(3)设∠COD=x,则∠AOE=2x.
因为∠DOE=90°,∠BOC=60°,所以3x=30或2x+90-x=120,
所以x=10或30,所以∠AOE=20°或60°,所以∠BOE=160°或120°.
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