初中数学人教版八年级上册15.1.1 从分数到分式教案设计

第十五章 分式

15.1  分式

15.1.1  从分数到分式

一、教学目标

1.了解分式的概念；

2.理解分式有（无）意义的条件、分式的值为0的条件.

3.能熟练求出分式有意义时字母的取值范围、分式的值为0时字母的值.

二、教学重难点

重点：理解分式有（无）意义的条件、分式的值为0的条件.

难点：求分式有意义时字母的取值范围、分式的值为0时字母的值.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]整式包括什么？

教师利用多媒体展示如下“练一练”，巩固单项式、多项式和整式的概念，学生积极举手回答：

【新知探究】

知识点1   分式的概念

[提出问题]（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为            cm；

长方形的面积为S，长为a，则宽为            .

（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为            cm；

把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为            .

（3）明明的妈妈带了50元去买苹果.如果每千克苹果8元，那么她可以买到          kg的苹果；

明明的妈妈带了（x+y）元去买苹果.如果原来每千克苹果8元，由于物价上涨，每千克苹果涨价m元，那么她可以买到          kg的苹果.

[学生思考]给学生1分钟的思考时间，教师引导学生可分别从“长方形的面积=长×宽”“圆柱体的体积=底面积×高”“总价=单价×数量”得到“宽=长方形的面积÷长”“高=圆柱体的体积÷底面积”“数量=总价÷单价”，从而得到如下结果：.

[提出问题]观察得到的式子，其中是整式的有           .

[学生回答]学生通过课前复习的内容，能很快找到是整式的式子，分别为.这三个式子也叫分数.

[提出问题]那么剩下的三个式子叫什么呢？这三个式子有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？

[学生思考]给学生思考时间，教师引导学生可从式子的结构，分子、分母来考虑.从而得到：相同点：

与分数一样，都是（即A÷B）的形式.不同点：分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母.

[归纳总结]分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，A叫做分子，B叫做分母.

分式必须满足三个条件：①形如的式子；②A、B都是整式；③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可.但是，如：虽然的分母中含有字母，但分母不是整式，所以不是分式.

[课件展示]跟踪训练

下列各式哪些是整式？哪些是分式？

[课件展示]根据跟踪训练中遇到的常见点，总结如下注意事项：

知识点2   分式有意义、无意义的条件

[提出问题]我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0，要使分式有意义，分式中的分母应该满足什么条件？

[学生思考]给学生1分钟的思考时间，教师引导学生可从分式的结构入手分析：“分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号.所以我们可以联想一下，当除法有意义时，除数应满足什么条件？”学生很容易想到：除数不能为0.

[归纳总结]分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式无意义.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题与变式：

例1   下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；

（2）要使分式有意义，则分母x-1≠0，即x≠1；

（3）要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即b≠；

（4）要使分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y.

【变式】（2021•杭州上城区一模）要使分式有意义，x的取值应该满足（　D　）

A．x≠-1     B．x≠2 C．x≠-1或x≠2      D．x≠-1且x≠2

【解析】由题意，得（x+1）（x﹣2）≠0，解得x≠﹣1且x≠2，故选D．

【错误做法】=，所以（x+1）≠0，解得x≠﹣1，故选B．

[课件展示]根据例1与变式中遇到的常见点，总结如下注意事项：

知识点3   分式值为零的条件

[提出问题]要使分式的值为零，分式应该满足什么条件？

[学生思考]给学生1分钟的思考时间，教师引导学生仍除法联想到分式：在除法中，要使商为零，应满足什么条件？”学生很容易想到：0除以任何不等于0的数，结果仍为0.

[归纳总结]分式值为零的条件：要使分式的值为零，则A=0，且B≠0.

同时强调：分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的.所以A=0，B≠0,两者缺一不可.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题与变式：

例2   （2021•雅安）若分式的值等于0，则x的值为（　A　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．±1

【解析】由题意，得|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，解得x＝﹣1.故选A．

【变式】（2021•南京江宁区模拟）若分式的值为0，则x等于（　C　）

A．0 B．3 C．﹣3 D．±3

【解析】∵该分式的值为0，∴x2﹣9＝0，且x﹣3≠0，解得x＝﹣3．故选C．

【课堂小结】

【课堂训练】

1．（2021•衡阳模拟）下列各式中，属于分式的是（　C　）

A．x B． C． D．

2．（2021•桂林）若分式的值等于0，则x的值是（　A　）

A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3

3.当a＝－1时，分式的值(  A   )

A.没有意义            B.等于零       

C.等于1               D.等于－1

4．（2021•上海奉贤区三模）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（　A　）

A． B． C． D．

【解析】A．当m＜2时，m﹣3＜﹣1，故分式一定有意义；

B．m＜2，当m＝1时，分式没有意义；

C．m＜2，当m＝﹣1时，分式没有意义；

D．m＜2，当m＝﹣3时，分式没有意义；

故选A．

5．（2021•铜仁市）要使分式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣1　．

6.已知，当x=5时，分式的值等于零，则k     =-10       .

7.当x满足什么条件时，下列分式有意义？

解：（1）当5x-3≠0时，即x≠时，分式有意义；                      

    （2）当时，即时，分式有意义；          

    （3）因为不论 x 取什么值，都有x2+3＞0，所以x取任意值，分式都有意义；          

（4）当(x-2)(x+4)≠0时，即 x≠2且 x≠-4时，分式有意义.

8.分式的值能等于0吗？说明理由．

答：不能.理由如下：

因为当等于0时， x+3＝0，即x=-3.

而当x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.

9.已知当x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式的值为0，则a+b的值为多少？

解：根据分式无意义和分式值为0的条件可得

-2+a=0，4-b=0.

解得a=2,b=4.

所以a+b=6.

10.当x为何值时，分式的值为负数？

解：由分式的值为负数，得  x+2＞0 ,①或  x+2＜0, ②

                          x-3＜0 ,      x-3＞0.

解不等式组①，得：-2＜x＜3；

解不等式组②，得无解.

所以当-2＜x＜3时，分式的值为负数.

【归纳总结】

（1）若的值为正数，则有  A＞0 或   A＜0

                            B＞0       B＜0；

（2）若的值为负数，则有  A＞0 或   A<0

                            B<0       B＜0；

 （3）若的值为1，则A=B且B≠0；

 （4）若的值为-1，则A=-B且B≠0.

【教学反思】

本节课是分式单元起始课,主要内容是分式的概念、分式有意义和值为0的条件.本节课内容也是进一步学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数的基础.分数和整式的知识是学习本节课的基础.这节课是在分数概念等的基础上来探究分式，学生较容易掌握,这样既体现了数学学科内在的逻辑关系,也是对类比这一数学思想方法和科学研究方法的渗透.批改作业时，发现有一些问题：区别分式时，仍有学生会化简之后再去判断；遇到分式值为0的题目，仍有一部分学生忘记“分母不能为0”这一条件.学生仍需多加练习.