数学八年级上册第十三章 轴对称综合与测试课时练习

绝密★启用前

2022人教版八年级数学上册第13章综合测试-带答案和解析

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(    )

A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒

2. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列说法中错误的是(    )

A.
B. 直线垂直平分，
C.
D. ，

4. 如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示是的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有(    )

A. 种
B. 种
C. 种
D. 种

6. 点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，有、、三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(    )

A. 在，两边高线的交点处
B. 在，两边中线的交点处
C. 在，两边垂直平分线的交点处
D. 在，两内角平分线的交点处

8. 如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 某等腰三角形的三边长分别为，，，则该三角形的周长为(    )

A.  B. 或 C. 或或 D. 与的取值有关

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______．
12. 我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”如果等腰三角形的“内角正度值”为，那么该等腰三角形的顶角等于      。
13. 已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数等于____________
14. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作若，则该等腰三角形的顶角的度数为________．
15. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作若，则该等腰三角形的顶角为          度

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    如图，在中，，点，在边上，连接，，，延长至点，使，连接．
    求证：≌；
    若，，求的度数．

17. 本小题分
    如图，已知，．
    求证：≌；
    与相等吗？若相等，请说明理由．

18. 本小题分
    如图，已知等腰中，，点，分别在边，上，且，连接，，交于点．
    
    
    
    判断与的数量关系，并说明理由

求证：过点，的直线垂直平分线段．

19. 本小题分

如图，是的角平分线，，分别是和的高．求证：垂直平分．

20. 本小题分
    如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动与，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动不与重合，过作于点，连接交于点．
     

若设，则_________，_________；用含的式子表示

当时，求的长；

在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题为动点问题，主要考查了等腰三角形的性质，设运动的时间为，则，当是等腰三角形时，，则，解之即可．
【解答】
解：设运动的时间为，
在中，，，
点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，
当是等腰三角形时，，
，
即，
解得．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意知是的垂直平分线，故B，故当点在上时，有最小值，即取得最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题的应用，明确点、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
【解答】
解：连接．

是的垂直平分线，
．
．
当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：关于直线进行轴对称变换后得到，
，，直线垂直平分线段、，
故选项A，，C正确，
故选：．
根据轴对称的性质一一判断即可．
本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，余角和三角形外角的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
由余角的性质可求，由轴对称的性质可得，由外角性质可求解．
【解答】
解：，，
，
与关于直线对称，点的对称点是点，
，
，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形的概念可知，一共有种涂法，如下图所示：
．
故选：．
结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
【解答】
解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选C．

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
；
故选：．
由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是运用分类讨论的思想，本题属于基础题型．
根据等腰三角形的性质列出方程即可求出的值．
【解答】
解：当时，
此时，
，能组成三角形，
此时三角形的周长为：；
当时，
此时，
，不能组成三角形；
当时，
此时，
，能组成三角形，
此时三角形的周长为：．
故选B．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出的度数，代入即可得出的度数．

【解答】

解：在中，，，

，
，是的外角，
；
同理可得，
，，
，

当时，，
故答案为．

11.【答案】或 

【解析】解：当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或．
等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．
 

12.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．

根据新定理，设最小角为，则最大角为，再分类讨论：当顶点为时，根据三角形内角和可求得，则可判断此三角形为等腰直角三角形；当顶角为时，根据三角形内角和定理可求得，所以此三角形为顶点为度的等腰三角形，即可求得结论．

【解答】

解：设最小角为，则最大角为，

 
当顶点为时，则，

解得，

所以此三角形为等腰直角三角形，

此三角形的顶角等于； 
当顶角为时，

则，

解得， 
综上所述，该三角形的顶角等于或 
故答案为或 

13.【答案】或 

【解析】解：有两种情况：
当在正方形内时，如图
正方形，
，，
等边，
，，
，
，
；

当在正方形外时，如图
等边三角形，
，
，
．
故答案为：或．
当在正方形内时，根据正方形，得到，，根据等边，得到，，推出，得出，根据三角形的内角和定理求出即可；
当在正方形外时，根据等边三角形，推出，求出即可．
本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查新定义，等腰三角形的性质，假设顶角的度数，利用三角形内角和为及“特征值”得出底角，列出方程即可求解．
【解答】
解：设顶角为，则其底角为或，
由题意，得，
解得．
即等腰三角形的顶角的度数为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的知识，灵活运用这部分知识是解决本题的关键．
依据题意，设出顶角度数，根据“特征值”可知底角度数，再由三角形内角和定理即可求得．

【解答】

解：设等腰三角形的顶角为度，
则一个底角的度数为度，

由，
．
故顶角为度．

16.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，，
≌；
解：，，
，
≌，
，
，
，
．
答：的度数为． 

【解析】要证明≌，由题意可得，，，从而可以证明结论成立；
根据中的结论和等腰三角形的性质可以求得的度数．
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

17.【答案】证明：在和中，
，
≌；

解：，
理由是：≌，
，
． 

【解析】根据定理推出全等即可；
根据全等得出，根据等角对等边得出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
 

18.【答案】解：．
理由：在和中，
．
．
证明：连接．
，
．
由可知，
．
．
点在线段的垂直平分线上．
，
点在线段的垂直平分线上．
过点，的直线垂直平分线段． 

【解析】略
 

19.【答案】证明：是的角平分线，，分别垂直，于点，，
， 
又，
≌，
，
，都在线段的垂直平分线上，即垂直平分． 

【解析】此题考查角平分线的性质和垂直平分线的判定，关键是找到和，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．根据角平分线的性质可得，则利用得≌，即可，从而得出结论．
 

20.【答案】；；

解：在中，
，

，
即，
解得，
；

解：当点、运动时，线段的长度不会改变．理由如下：
作，交直线的延长线于点，连接，，

又于，
，
点、速度相同，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，




，
，
又等边的边长为，
，
当点、运动时，线段的长度不会改变． 

【解析】

【分析】
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
由是边长为的等边三角形，，设，则，；
由是边长为的等边三角形，可知，再由可知，在中，，，即，求出的值即可；
作，交直线的延长线于点，连接，，由点、做匀速运动且速度相同，可知，再根据全等三角形的判定定理得出≌，再由，，，再证明，进而可得出，，由等边的边长为可得出，故当点、运动时，线段的长度不会改变
【解答】
解：是边长为的等边三角形，
设，则，，
，
故答案为：；；
见答案；
见答案．