2020-2021学年第十三章 轴对称综合与测试练习题

专题训练　轴对称

1.[2020·淄博] 下列图形中,不是轴对称图形的是 (　　)

2.[2020·凉山州] 点P(2,3)关于x轴对称的点P'的坐标是 (　　)

A.(2,-3)                      B.(-2,3)

C.(-2,-3)                      D.(3,2)

3.[2020·青海] 等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是 (　　)

A.55°,55°                  B.70°,40°或70°,55°

C.70°,40°                      D.55°,55°或70°,40°

4.[2020·湘西州] 已知∠AOB,作∠AOB的平分线OM,在射线OM上截取线段OC,分别以点O,C为圆心,大于OC的长为半径画弧,两弧相交于点E,F.画直线EF,分别交OA于点D,交OB于点G,那么△ODG一定是              (　　)

A.锐角三角形                  B.钝角三角形

C.等腰三角形                  D.直角三角形

5.[2020·南充] 如图,在等腰三角形ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD的长为              (　　)

A.              B.             C.a-b              D.b-a

6.[2020·台州] 如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是　　　　. 

7.[2020·青海] 如图,在△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,且△DBC的周长是24 cm,则BC=　　　　cm. 

8.[2019·黄冈] 如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是　　　　. 

9.[2019·广西] 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3).

(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;

(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;

(3)请写出点A1,A2的坐标.

10.[2019·天门] 请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.

(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;

(2)如图图②,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.

11.[2020·哈尔滨] 已知:在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE,连接AD,AE.

(1)如图①,求证:AD=AE;

(2)如图图②,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.

12.[2019·北京平谷区模拟] 如图,在等边三角形ABC外侧作射线AP,∠BAP=α,点B关于射线AP的对称点为点D,连接CD交AP于点E.

(1)依据题意补全图形;

(2)当α=20°时,∠ADC=　　　　°,∠AEC=　　　　°; 

(3)连接BE,求证:∠AEC=∠BEC;

(4)当0°<α<60°时,用等式表示线段AE,CD,DE之间的数量关系,并证明.

答案

1.D　2.A　

3.D　 (1)若等腰三角形的顶角为70°,则另外两个内角为(180°-70°)÷2=55°;(2)若等腰三角形的底角为70°,则它的另外一个底角为70°,顶角为180°-70°-70°=40°.

4.C　 如图图,∵OM平分∠AOB,

∴∠AOC=∠BOC.

由题意可得,DG垂直平分OC,

∴∠OHD=∠OHG=90°.

∴∠ODH=∠OGH,∴OD=OG.

∴△ODG是等腰三角形.

5.C　 ∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,

∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°.

∴∠ABD=36°=∠A.

∴BD=AD.

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C.

∴BD=BC.

∵AB=AC=a,BC=b,

∴CD=AC-AD=AC-BC=a-b.

6.6　 ∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF=2.

∵DE∥AB,DF∥AC,

∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,

∴∠EDF=60°.∴△DEF是等边三角形.

∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.

7.10　 ∵△DBC的周长为24 cm,

∴BD+DC+BC=24 cm.

∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.

∴AD+DC+BC=24 cm,

即AC+BC=24 cm.

又∵AC=14 cm,

∴BC=24-14=10(cm).故填10.

8.14　 如图图,作点A关于CM的对称点A',点B关于DM的对称点B',连接CA',A'B',B'D,A'M,B'M.

∵∠CMD=120°,

∴∠AMC+∠DMB=60°.

∴∠CMA'+∠DMB'=60°.

∴∠A'MB'=60°.

∵MA=MA',MB=MB',MA=MB,

∴MA'=MB'.

∴△A'MB'为等边三角形.

∴A'B'=A'M=AM.

∵CD≤CA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=2+4+8=14,

∴CD的最大值为14.

故答案为14.

9.解:(1)如图图所示,△A1B1C1即为所求.

(2)如图图所示,△A2B2C2即为所求.

(3)A1(2,3),A2(-2,-1).

10.解:(1)如图图①,直线m即为所求.

(2)如图图②,直线n即为所求.

11.解:(1)证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C.

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS).

∴AD=AE.

(2)△ABE,△ACD,△DAE,△DBF.

12.解:(1)补全图形如图图①所示.

(2)如图图②,连接AD.

∵△ABC为等边三角形,

∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.

由对称可知,AD=AB,

∴AD=AC.

∵∠BAP=α=20°,∴∠DAB=40°.

∴∠DAC=40°+60°=100°.

∴∠ADC=∠ACD=40°.

∴∠AEC=∠ADC+∠DAE=40°+20°=60°.

故答案为40,60.

(3)证明:连接BE,如图图③.

由对称性可知,∠BAE=∠DAE=α.

∵AD=AB=AC,

∴∠ADC==60°-α.

∴∠AEC=∠ADC+∠DAE=60°.

∵∠ACB=60°,∠ACD=∠ADC=60°-α,

∴∠BCE=α.

∵∠ABC=60°,∠ABE=∠ADC=60°-α,

∴∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠BEC.

(4)当0°<α<60°时,CD=2DE+AE.

证明:在CD上取一点G,使BG=BE,如图图③.

又∵∠BEC=60°,

∴△BGE是等边三角形.

∴BE=EG,∠BGE=60°.

∴∠BGC=120°.

∵∠AEC=∠BEC=60°,∴∠AED=120°.

∴∠BGC=∠AED.

又∵∠BCE=∠DAE=α,AD=BC,

∴△BCG≌△DAE.

∴AE=CG.

由对称性可知BE=DE,∴EG=BE=DE,

∴CD=2DE+CG,

即CD=2DE+AE.