2020-2021学年第二十四章 圆综合与测试同步测试题

2022-2023学年人教版九年级数学上册

第24章《圆》提升训练

一、单选题

1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．28° B．30° C．36° D．56°

2．如图，AC是的直径，弦于E，连接BC，过点O作于F，若，，则OE的长为（    ）

A．3 B．4 C． D．5

3．如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）．

A． B． C． D．

4．如图，中，是的直径，交于点，交于点，点是中点，的切线交于点，则下列结论中①；②；③；④是中点，正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，D是边BC上一点，且BD﹕CD=1﹕2，点O在AD上，⊙O与AB、BC相切，则⊙O的面积为（     ）

A．  B．  C．  D．2

6．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　）

A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线

B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC

C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线

D．若，则AC是⊙O的切线

7．如图所示，已知为的直径，直线为圆的一条切线，在圆周上有一点，且使得，连接，则的大小为(   )

A． B． C． D．

8．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（    ）

A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等 B．连接HD，则HD平分∠CHE

C．整个图形不是中心对称图形 D．是等边三角形

9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π

10．如图，在中，，，AB=2．将绕直角顶点顺时针旋转60°得到，则点转过的路径长为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为________．

12．如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中，，在上，、在半圆上．若则正方形的面积与正方形的面积之和是16，则的长为________．

13．在中，，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，点P为射线上一动点．若存在是以为斜边的直角三角形，则的长为_________．

14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为1，则__________.

15．如图，在中，，以点A为圆心，2为半径的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是_______（结果保留）．

三、解答题

16．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．

（1）求证：AB//CD；

（2）连接AF，求证：AB＝AF．

17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．

(1)求证：∠BOD＝2∠A；

(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．

18．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD＝，求⊙O的半径．

19．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．

（1）求证：∠ADB＝∠CDE；

（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面积．

20．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．

(1)求证：CD∥AB．

(2)若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

21．如图,在半径为2的⊙O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角∠MON=60°,在弧QN上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.

(1)求弦MN的长;

(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)试分析比较,阴影部分面积y与的大小关系.

22．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．

(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；

(2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；

(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．

参考答案

1．A

2．A

3．D

4．C

5．C

6．C

7．C

8．D

9．D

10．A

11．

12．8

13．或

14．

15．

16．解：（1）∵AD//BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵DE＝DF，

∴ ，

∴，

∴，

∴∠A＝∠C，

∴∠B+∠C＝180°，

∴AB//CD；

（2）连接AF，

∵AB//CD，AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵四边形AFCD是圆内接四边形，

∴∠AFC+∠D＝180°，

∵∠AFC+∠AFB＝180°，

∴∠AFB＝∠D＝∠B，

∴AB＝AF．

17．

（1）

证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，

∴，

∴∠CAB＝∠BAD，

∵∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BOD＝2∠CAB；

（2）

证明：如图，连接OC，AD，

∵F为AC的中点，

∴DF⊥AC，

∴AD＝CD，

∴∠ADF＝∠CDF，

∵，

∴∠CAB＝∠DAB，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CDF＝∠CAB，

∵OC＝OD，

∴∠CDF＝∠OCD，

∴∠OCD＝∠CAB，

∵，

∴∠CAB＝∠CDE，

∴∠CDE＝∠OCD，

∵∠E＝，

∴∠CDE+∠DCE＝，

∴∠OCD+∠DCE＝，

即OC⊥CE，

∵OC为半径，

∴直线CE为⊙O的切线．

18．

（1）

连接OC，如图，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC//AF，

∵CD⊥AF，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）

连接BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵，

∴∠BOC=×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=，

∴AC=2CD=，

在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，

即（）2+（AB）2=AB2，

∴AB=8，

∴⊙O的半径为4．

19．（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠CDE＝∠ABC，

∴∠ADB＝∠CDE；

（2）解：作AM⊥CD于点M，

∵AB＝10，AF＝6，

∴BF＝8，

∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，

∴△ACM≌△ABF，

∴CM＝BF＝8，

∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．

∴BD＝BF+DF＝10＝AB．

∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，

∴AB∥CD，

∴S△DBC＝S△ADC＝CD×AM＝18．

20．

（1）

证明：∵，

∴∠ACD＝∠DBA，

又∵∠CAB＝∠DBA，

∴∠CAB＝∠ACD，

∴CD∥AB．

（2）

如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

∵∠ACD＝30°，

∴∠ACD＝∠CAB＝30°，

∴∠AOD=2∠ACD＝60°，

∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，

∴S扇形BOD＝．

在Rt△ODE中，

∵DE＝OD×cos30°＝＝，

∴S△BOD＝＝＝，

∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．

∴S阴影＝．

21．(1)  ∵OM=ON,∠MON=60°,∴△MON是等边三角形,∴MN=OM=ON=2.

 (2)  作OH⊥MN于H点,∴.在Rt△OHN中, ,

 ∴.,

 ∴,即.

 (3)  令,即,∴.当时,;

 当时,;当时,.

22.

（1）∠CPD是直径AB的“回旋角”，

理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠BPC＝∠APD，

∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；

(2)如图1，∵AB＝26，

∴OC＝OD＝OA＝13，

设∠COD＝n°，

∵的长为π，

∴n＝45，

∴∠COD＝45°，

作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，

∴∠BPC＝∠OPE，

∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠OPE＝∠APD，

∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，

∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，

∴点D，P，E三点共线，

∴∠CED＝∠COD＝22.5°，

∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，

∴∠CPD＝45°，

即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，

(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，

∴PF＝PC，

同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，

∵直径AB的“回旋角”为120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等边三角形，

∴∠CFD＝60°，

连接OC，OD，

∴∠COD＝120°，

过点O作OG⊥CD于G，

∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，

∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝

∴CD＝，

∵△PCD的周长为24+13，

∴PD+PC＝24，

∵PC＝PF，

∴PD+PF＝DF＝24，

过O作OH⊥DF于H，

∴DH＝DF＝12，

在Rt△OHD中，OH＝

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝3；

②当点P在半径OB上时，

同①的方法得，BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：满足条件的AP的长为3或23．