2020-2021学年第一章 三角函数4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课时作业

第一章　4.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则sin α的值是(　C　)

A．－2 B．2

C．1 D．不存在

[解析]　∵点A(0,2)在y轴正半轴上，且r＝2，

∴sin α＝＝1．

2．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(a，a－3)，且cos α＝，则a等于(　A　)

A．1 B．

C．1或 D．1或－3

[解析]　由题意得＝，

两边平方化为a2＋2a－3＝0，

解得a＝－3或1，而a＝－3时，

点P(－3，－6)在第三象限，cos α<0，与题不符，舍去，选A．

3．角α的终边经过点(3,4)，则＝(　C　)

A． B．

C．7 D．

[解析]　由角α的终边经过点(3,4)，可得sin α＝，cos α＝，则＝＝7.

4．已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是(　B　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　由sin α＝>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．

二、填空题

5．若角α的终边经过点(1，－)，则sin α＝ － .

[解析]　由题意得x＝1，y＝－，则r＝2，

∴sin α＝＝－.

6．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为 ± .

[解析]　在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，

当x>0时，r＝＝x，

sin α＋cos α＝＋＝＋＝，

当x<0时，r＝＝－x，

sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.

三、解答题

7．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ.

[解析]　由题意知r＝|OP|＝，

由三角函数定义得cos θ＝＝，

又因为cos θ＝x，所以＝x.

因为x≠0，所以x＝±1．当x＝1时，P(1,3)，

此时sin θ＝＝，

当x＝－1时，P(－1,3)，

此时sin θ＝＝.

综上可知sin θ＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是(　A　)

A．－2 B．

C．－2或 D．2

[解析]　由余弦函数的定义知，

＝－，

化简整理得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又2a＋1<0，所以a＝－2.

2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围为(　B　)

A．－2<a<3 B．－2<a≤3

C．－2≤a<3 D．－3≤a<2

[解析]　∵sin α>0，cos α≤0，

∴α位于第二象限或y轴正半轴上．

∴3a－9≤0且a＋2>0.∴－2<a≤3.

3．(2021·河南平顶山高一月考)已知角α的终边经过点(－，m)(m≠0)，且sin α＝m，则cos α的值为(　C　)

A．－ B．－

C．－ D．±

[解析]　r＝，∵sin α＝＝＝.

∴m2＝，m＝±.

∴cos α＝＝＝－.

二、填空题

4．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于 ± .

[解析]　在角α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.

5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝ －8 .

[解析]　根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，

又∵y<0，∴y＝－8(符合题意)，y＝8(舍去)．

综上知y＝－8.

三、解答题

6．已知角α的终边在直线y＝x上，求10cos α－的值．

[解析]　设角α的终边上任一点为Q(3k，k)(k≠0)，

则x＝3k，y＝k，r＝＝|k|.

当k>0时，r＝k，α为第一象限角，

sin α＝＝，cos α＝＝，

所以10cos α－＝3－3＝0.

当k<0时，r＝－k，α为第三象限角，

sin α＝－，cos α＝－，

所以10cos α－＝－3＋3＝0.

综上，10cos α－＝0.

7．已知＝－，且lg cos α有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．

[解析]　(1)由＝－可知sin α<0，

所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α>0，

所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角．综上可知，角α是第四象限角．

(2)因为点M在单位圆上，

所以2＋m2＝1，解得m＝±.

又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.

根据正弦函数的定义，可知sin α＝－.