北师大版 (2019)必修 第二册4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课时作业

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1．在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．在△ABC中，若b＝8，c＝8eq \r(3)，S△ABC＝16eq \r(3)，则A等于( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．已知在△ABC中，a比b大2，b比c大2，最大角的正弦值是eq \f(\r(3),2)，则△ABC的面积是( )
A.eq \f(15\r(3),4) B.eq \f(15,4)
C.eq \f(21\r(3),4) D.eq \f(35\r(3),4)
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝________.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs A＝eq \f(1,4).若a＝4，b＋c＝6，且b[提能力]
7．[多选题]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝eq \f(π,3)，a＋c＝eq \r(3)b，则eq \f(a,c)＝( )
A．2 B．3
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
8．已知△ABC各角的对边分别为a，b，c，满足eq \f(b,a＋c)＋eq \f(c,a＋b)≥1，则角A的范围是________．
9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq \f(cs B,cs C)＝－eq \f(b,2a＋c).
(1)求角B的大小；
(2)若b＝eq \r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面积．
[战疑难]
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝eq \f(π,3)，已知D是BC边上一点，且CD＝2DB，若AD＝eq \f(\r(21),3)b，则eq \f(b,c)＝________.
课时作业23 余弦定理
1．解析：由余弦定理得
AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cs C
即13＝9＋AC2－2×3×AC×cs 120°
∴AC2＋3AC－4＝0
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．
答案：A
2．解析：由三角形面积公式得eq \f(1,2)×8×8eq \r(3)·sin A＝16eq \r(3)，于是sin A＝eq \f(1,2)，所以A＝30°或A＝150°.故选C.
答案：C
3．解析：∵△ABC中，B＝60°，b2＝ac，
∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，∴a2＋c2－2ac＝0⇒(a－c)2＝0，
∴a＝c，A＝C，∴△ABC为等边三角形．故选D.
答案：D
4．解析：因为a＝b＋2，b＝c＋2，所以a＝c＋4，A为最大角，所以sin A＝eq \f(\r(3),2).
又A>B>C，所以A＝120°，
所以cs A＝－eq \f(1,2)，即eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，
所以(c＋2)2＋c2－(c＋4)2＝－c(c＋2)，解得c＝3.
所以a＝7，b＝5，c＝3，A＝120°.
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×5×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),4).故选A.
答案：A
5．解析：由余弦定理，得c2＋b2－2bccs A＝a2，即4＋b2－2×2bcs A＝5.整理，得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)．
答案：3
6．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccs A，∵a＝4，b＋c＝6，cs A＝eq \f(1,4)，∴16＝36－eq \f(5,2)bc，∴bc＝8.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝6，,bc＝8，,b7．解析：∵B＝eq \f(π,3)，a＋c＝eq \r(3)b
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2 ①
由余弦定理得a2＋c2－2accs eq \f(π,3)＝b2 ②
由①②得2a2－5ac＋2c2＝0，即2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c)))2－5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c)))＋2＝0
解得eq \f(a,c)＝2或eq \f(a,c)＝eq \f(1,2)，故选AC.
答案：AC
8．解析：将不等式eq \f(b,a＋c)＋eq \f(c,a＋b)≥1两边同乘以(a＋c)(a＋b)整理得，b2＋c2－a2≥bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，所以0答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
9．解析：(1)由余弦定理知，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
将上式代入eq \f(cs B,cs C)＝－eq \f(b,2a＋c)，得eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·eq \f(2ab,a2＋b2－c2)＝－eq \f(b,2a＋c)，整理得a2＋c2－b2＝－ac.
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq \f(ac,2ac)＝－eq \f(1,2).
因为B为三角形的内角，所以B＝eq \f(2π,3).
(2)将b＝eq \r(13)，a＋c＝4，B＝eq \f(2π,3)代入b2＝a2＋c2－2accs B，即b2＝(a＋c)2－2ac－2accs B得，
13＝16－2aceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))，所以ac＝3.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(3\r(3),4).
10．解析：在△ADB中，由余弦定理的推论得cs ∠ADB＝eq \f(AD2＋BD2－AB2,2·AD·BD)＝eq \f(\f(7,3)b2＋\f(1,9)a2－c2,2·\f(\r(21),3)b·\f(1,3)a)，
在△ADC中，由余弦定理的推论得cs ∠ADC＝eq \f(AD2＋CD2－AC2,2·AD·CD)＝eq \f(\f(7,3)b2＋\f(4,9)a2－b2,2·\f(\r(21),3)b·\f(2,3)a)
由于∠ADB和∠ADC互补，因此eq \f(\f(7,3)b2＋\f(1,9)a2－c2,2·\f(\r(21),3)b·\f(1,3)a)＋eq \f(\f(7,3)b2＋\f(4,9)a2－b2,2·\f(\r(21),3)b·\f(2,3)a)＝0，化简，得a2＋9b2－3c2＝0.
在△ABC中，根据余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bc·cs ∠BAC＝b2＋c2－bc，代入上式可得10b2－bc－2c2＝0，解得eq \f(b,c)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)