北师大版 (2019)必修 第二册4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义导学案

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质

4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

知识点1　任意角的正弦、余弦函数

(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．

(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P.

1.已知Q是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？

[提示]　sin α＝，cos α＝.

1.点P(sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限．

三　[∵2 020°＝5×360°＋220°，

∴2 020°是第三象限角，

∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0，

∴点P位于第三象限．]

知识点2　正弦函数、余弦函数的基本性质

2.为什么y＝sin x，x∈R是周期函数？

[提示]　因为∀x∈R，x＋2π与x终边相同，所以sin ＝sin x，根据周期函数的定义可知，y＝sin x，x∈R是周期函数．

2.已知sin x＝2m＋3，且x∈，

则m的取值范围是________．

－≤m≤－　[∵x∈，

∴结合单位圆知sin x∈，

即－ ≤2m＋3≤ .∴－ ≤m≤－.]

类型1　三角函数的定义及应用

【例1】　(教材北师版P15练习1改编)已知角α的终边过点P，求2sin α＋cos α的值．

[解]　r＝＝5|a|.

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，

sin α＝＝＝，

cos α＝＝＝－，

∴2sin α＋cos α＝－＝1.

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，

sin α＝＝－，

cos α＝＝，

∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.

已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

1.在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离为

2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

1．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α的值．

[解]　因为角α的终边在直线y＝x上，

所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，

则r＝＝2|a|(a≠0).

若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，

所以sin α＝＝，cos α＝ ＝ .

若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，

所以sin α＝ ＝－，cos α＝－＝－.

类型2　正弦、余弦函数值符号的判断

【例2】　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)

A．第一象限       B．第二象限

C．第三象限       D．第四象限

(2)判断下列各式的符号．

①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4.

(1)D　[∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，

∴点P在第四象限，故选D.]

(2)[解]　①∵145°是第二象限角，

∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，

∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，

∴sin 145°cos (－210°)＜0.

②∵＜3＜π，π＜4＜，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.

,对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．

2．若三角形的两内角A，B满足sin A cos B<0，则此三角形为(　　)

A．锐角三角形     B．钝角三角形

C．直角三角形       D．以上三种情况都有可能

B　[由题意知，A，B∈(0，π)，

∴sin A＞0，cos B＜0，

∴B为钝角．故选B.]

类型3　单位圆与正弦函数、余弦函数的

基本性质

【例3】　(教材北师版P18例3改编)已知函数f(x)＝.

求(1)函数f(x)的定义域；

(2)函数f(x)的值域；

(3)函数f(x)的单调区间．

若研究与三角函数有关的不等式问题，我们通常考虑数形结合思想求解．

[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则sin x≥ .

如图所示，画出单位圆，作直线y＝，交单位圆于P1，P2两点，

在[0，2π)范围内，sin ＝sin ＝，则点P1，P2分别在，的终边上，

又sin x≥ ，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x≥ 的角α的终边所在的范围，即当x∈[0，2π)时， ≤x≤ ，

故函数f(x)的定义域为

(2)由≤sin x≤1，得f(x)的值域为.

(3)函数f(x)的单调递增区间是

，单调递减区间是.

利用单位圆解三角不等式的一般步骤

第一步：找出不等式对应方程的根；

第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域；

第三步：结合单位圆写出不等式的解集．

3．使sin x≤cos x成立的x的一个取值区间是(　　)

A．　　 B．

C．     D．[0，π]

A　[如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，要使sin x≤cos x，由三角函数线的定义知角x的终边应落在直线y＝x上或者该直线的下方，故选A.]

1．设已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　)

A．－    B．－    C．    D．

B　[由于x＝－，y＝－，由正弦函数的定义知，sin α＝y＝－，故选B.]

2．当α为第二象限角时，－的值是(　　)

A．1    B．0    C．2    D．－2

C　[∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.

∴－＝－＝2.]

3．若sin α≥，则角α的取值范围是___________________．

　[如图作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.]

4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．

－8　[∵sin θ＝＝－，

∴y<0，且y2＝64，∴y＝－8.]

5．u＝cos α，α∈[－，]的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

[－，0]　[0，]　[由图可知u＝cos α，在[－，0]上是增函数，在[0，]上是减函数．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？

[提示]　正弦、余弦函数的定义域、值域、周期均相同，分别是R、[－1，1]、2π.正弦函数的单调增区间为，减区间为，余弦函数的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z).

2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？

[提示]　(1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号．

(2)余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号．

正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．