北师大版 (2019)必修 第二册4.3 诱导公式与对称当堂达标检测题

第一章　4.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．sin 150°的值为(　B　)

A．－ B．

C．－ D．

2．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　原式＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋cos245°＝2＋2－2×＋2＝.

3．sin(π－2)＋cos(π－2)的值为(　B　)

A．sin 2＋cos 2 B．sin 2－cos 2

C．－sin 2＋cos 2 D．－sin 2－cos 2

4．已知sin＝，则sin的值为(　C　)

A．　　　 B．－

C．　　　 D．－

[解析]　∵sin＝，

∴sin＝sin＝sin＝.

5．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　C　)

A．sin α＝sin β

B．sin(α－2π)＝sin β

C．cos α＝cos β

D．cos(2π－α)＝－cos β

[解析]　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.

6．(多选)已知函数f(x)＝cos，则下列等式不成立的是(　ABC　)

A．f(2π－x)＝f(x)

B．f(2π＋x)＝f(x)

C．f(－x)＝－f(x)

D．f(－x)＝f(x)

[解析]　对于A，f(2π－x)＝cos＝cos＝－cos≠f(x)，A不成立；对于B，f(2π＋x)＝cos＝cos＝－cos≠f(x)，B不成立；对于C，f(－x)＝cos＝cos＝f(x)≠－f(x)，C不成立，D成立．故选ABC．

二、填空题

7．sin 780°＝  .

[解析]　sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝.

8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝  .

[解析]　由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.

9．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 018)＝－1，则f(2 019)的值为 1 .

[解析]　因为f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝－1，

所以f(2 019)＝a·sin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝asin [π＋(2 018π＋α)]＋bcos [π＋(2 018π＋β)]＝－[asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)]＝1．

三、解答题

10．已知＝3，求sin(－α)的值．

[解析]　∵

＝

＝＝3.

∴sin α＝－.

又sin(－α)＝－sin α，∴sin(－α)＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．(多选)下列各式正确的是(　ACD　)

A．sin(α＋180°)＝－sin α

B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)

C．sin(－α－360°)＝－sin α

D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)

[解析]　对于B，cos(－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos(α－β)，B错误，由诱导公式知A、C、D都正确，故选ACD．

2．(多选)在△ABC中，给出下列四个式子：其中为常数的是(　BC　)

A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(A＋B)＋cos C

C．sin(2A＋2B)＋sin 2C D．cos(2A＋2B)＋cos 2C

[解析]　A．sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；

B．cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；

C．sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C

＝sin [2(π－C)]＋sin 2C

＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；

D．cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C

＝cos [2(π－C)]＋cos 2C

＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．

故选BC．

3．已知A＝＋(k∈Z)，则A构成的集合是(　C　)

A．{－1,1，－2,2} B．{1，－1}

C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2}

[解析]　当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故A构成的集合为{－2,2}．

4．下列三角函数：

①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z)．

其中函数值与sin的值相同的是(　C　)

A．①② B．①③④

C．②③⑤ D．①③⑤

[解析]　①sin＝(－1)nsinπ＝(－1)n＋1·sin；②cos＝cos＝sin；③sin＝sin；④cos＝cos＝－cos＝－sin；

⑤sin＝sin＝sin，故②③⑤正确．

二、填空题

5．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝ －1 .

[解析]　∵cos(π－θ)＝－cos θ，

∴cos θ＋cos(π－θ)＝0，

即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.

∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1．

6．若sin(π－α)－cos(π＋α)＝，0<α<π，则sin(π＋α)＋cos(2π－α)等于 － .(注：对任意角α，有sin2α＋cos2α＝1)

[解析]　sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α＋cos α＝.两边平方，化简得sin αcos α＝－<0，由α∈(0，π)，得α∈，又sin(π＋α)＋cos(2π－α)＝－sin α＋cos α，(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，又cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－.

三、解答题

7．已知角α终边上一点P(－4,3)，求

的值．

[解析]　点P到原点O的距离|OP|＝＝5.

根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－.

＝

＝

＝＝×＝－.

8．已知f(x)＝(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f.

[解析]　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝

＝

＝＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝

＝

＝＝sin2x，

综上得f(x)＝sin2x.

(2)由(1)知f＝sin2

＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝.