高中北师大版 (2019)4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课堂检测

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1．海上有A、B两个小岛，相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A．10eq \r(3) n mile B．10eq \r(6) n mile
C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，则△ABC的面积等于( )
A．4eq \r(3) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
3．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为( )
A．18eq \r(3) m B．120eq \r(3) m
C．32 m D．24eq \r(3) m
4．在平行四边形ABCD中，AC＝eq \r(65)，BD＝eq \r(17)，周长为18，则平行四边形ABCD的面积是( )
A．16 B．18
C．20 D．32
5．如图，货轮在海上以20 n mile/h的速度沿着方位角(从指北方向线起顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行．为了确定船的位置，在点B观察灯塔A的方位角是120°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是75°，则货轮到达C点时与灯塔A的距离为________n mile.
6．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.
[提能力]
7．[多选题]某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3eq \r(3) D．3
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(eq \r(3)，S)满足p∥q，则C＝________.
9．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向，相距20(eq \r(3)＋1) n mile的海面上有一个台风中心，影响半径为20 n mile.正以10eq \r(2) n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过，且(eq \r(3)＋1) h后开始影响基地持续2 h，求台风移动的方向．
[战疑难]
10．在锐角△ABC中，a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边，O为其外心，则O点到三边的距离之比为( )
A．abc
B.eq \f(1,a)eq \f(1,b)eq \f(1,c)
C．cs Acs Bcs C
D．sin Asin Bsin C
课时作业25 用余弦定理、正弦定理解三角形
1．解析：如图，易知∠ACB＝45°，由正弦定理，得eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(10,sin 45°)，∴BC＝5eq \r(6) n mile.
答案：D
2．解析：由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，
则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
因为0又bc＝|eq \(AC,\s\up13(→))|·|eq \(AB,\s\up13(→))|＝eq \f(\(AC,\s\up13(→))·\(AB,\s\up13(→)),cs A)＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).故选D.
答案：D
3．解析：设塔高为h m，因为∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，CD⊥AD，CD⊥BD，所以AD＝eq \f(h,tan 60°)＝eq \f(h,\r(3))，BD＝eq \f(h,tan 45°)＝h.
在△ABD中，由余弦定理得242＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,\r(3))))2＋h2－2×eq \f(h,\r(3))×h×cs 30°，解得h＝24eq \r(3).故选D.
答案：D
4．解析：如图．∵周长为18，∴AB＋BC＝9.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC，
即65＝(AB＋BC)2－2AB·BC－2AB·BCcs∠ABC＝81－2AB·BC·(1＋cs∠ABC)．①
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cs(π－∠ABC)＝BC2＋AB2－2BC·AB·cs(π－∠ABC)，
即17＝(BC＋AB)2－2AB·BC＋2BC·AB·cs∠ABC＝81－2AB·BC(1－cs∠ABC)．②
由①＋②，得82＝81＋81－4AB·BC，
∴AB·BC＝20.
∵AB＋BC＝9，∴AB＝4，BC＝5或AB＝5，BC＝4.
∴cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2·AB·BC)＝eq \f(25＋16－65,40)＝eq \f(－24,40)＝－eq \f(3,5)，
sin∠ABC＝eq \f(4,5)，
∴S平行四边形ABCD＝AB·BC·sin∠ABC＝20×eq \f(4,5)＝16.故选A.
答案：A
5．解析：根据题意，可知BC＝20×0.5＝10，∠ABC＝150°－120°＝30°，∠ACB＝30°＋75°＝105°，因此可得A＝45°.在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin ∠ABC)，得AC＝5eq \r(2).
答案：5eq \r(2)
6．解析：如图所示，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD
＝eq \f(1,2)AB·ADsin A＋eq \f(1,2)BC·CDsin C.
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
∴S＝eq \f(1,2)sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A.
在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs A＝20－16cs A.
在△CDB中，由余弦定理，得
BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcs C＝52－48cs C.
∴20－16cs A＝52－48cs C.
又cs C＝－cs A，∴cs A＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°.
∴S＝16sin A＝8eq \r(3).
7．解析：由题意知∠ABC＝30°，
由余弦定理得cs 30°＝eq \f(x2＋9－3,6x)
解得x＝2eq \r(3)或x＝eq \r(3)，故选AB.
答案：AB
8．解析：由p∥q，得4S＝eq \r(3)(a2＋b2－c2)，则S＝eq \f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
所以S＝eq \f(\r(3),4)×2abcs C＝eq \f(\r(3),2)abcs C.
又由面积公式得S＝eq \f(1,2)absin C，
所以eq \f(\r(3),2)abcs C＝eq \f(1,2)absin C，所以tan C＝eq \r(3).
又C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
9．解析：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20 n mile，AC＝20 n mile.
由题意得AB＝20(eq \r(3)＋1) n mile，DC＝20eq \r(2) n mile，BC＝10eq \r(2)(eq \r(3)＋1) n mile.
在△ADC中，DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理，得
cs∠BAC＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠BAC＝30°.
∵B位于A的南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，
∴D位于A的正北方向．
∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量eq \(CD,\s\up13(→))的方向，即北偏西45°方向．
故台风的移动方向为北偏西45°方向．
10．解析：如图，过A作⊙O的直径AG，连接BG，设⊙O的半径为R；
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG＝90°；
∵OD⊥AB，
∴OD∥BG；
又∵O是AG的中点，
∴OD是△ABG的中位线，即BG＝2OD；
Rt△ABG中，∠G＝∠C，
∴BG＝AG·cs G＝2R·cs C；
∴OD＝R·cs C，即O到AB边的距离为R·cs C；
同理可证得：OE＝R·cs A，
OF＝R·cs B；
∴点O到三边的距离之比为：
(R·cs A)(R·cs B)(R·cs C)＝cs Acs Bcs C；
故选C.
答案：C