高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化练习题

第一章　1

A　组·素养自测

一、选择题

1．如右图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为(　C　)

A．1．5 s B．2 s

C．2.5 s D．3 s

[解析]　若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.

2．(多选)下列是周期现象的有(　ABC　)

A．地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化

B．海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象

C．做简谐运动的物体的位移变化情形

D．连续掷一枚均匀骰子，出现点数为1,2,3,4,5,6的情况

[解析]　D不是周期现象，A，B，C均为周期现象．

3．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2016年是猴年，那么1949年是(　A　)

A．牛年 B．虎年

C．兔年 D．龙年

[解析]　2016－1949＝67,67÷12＝5……7，从猴年往前数第7个即可，也就是牛年．

4．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期(　C　)

A．五 B．六

C．日 D．一

[解析]　因为每星期含有7天，而58＝7×8＋2，即58天后是再过8个星期后第2天，即星期日，故选C．

5．若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为(　B　)

A．24.5天 B．29.5天

C．28.5天 D．24天

[解析]　由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．

6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，也是周期为4的周期函数，且在区间[0,2]上单调递减，则f(－2 021)与f(2 022)的大小关系为(　A　)

A．f(－2 021)>f(2 022)

B．f(－2 021)<f(2 022)

C．f(－2 021)＝f(2 022)

D．不确定

[解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，也是周期为4的周期函数，

所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1)，

f(2 022)＝f(2＋505×4)＝f(2)

又由f(x)在区间[0,2]上单调递减，得f(1)>f(2)，得f(－2 021)>f(2 022)．

二、填空题

7．把扑克牌按照红桃2张，梅花3张，方块1张，黑桃2张的顺序连续排列着，则第76张牌的花色是 梅花 .

[解析]　2张红桃，3张梅花，1张方块，2张黑桃按顺序排列，每隔8张又重复出现，又76＝8×9＋4，所以第76张是梅花．

8．定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[－4,0]时f(x)＝x＋1，则f(25)＝ 0 .

[解析]　因为定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8.当x∈[－4,0]时，f(x)＝x＋1，

所以f(25)＝f(8×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋1＝0.

9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为 0 .

[解析]　f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.

三、解答题

10．一群小朋友在课间活动时进行报数游戏，他们9个人围成一圈，按顺时针方向依次报数：王莹报“1”，马可报“2”，田雨报“3”，李舟报“4”，朱悦报“5”，严明报“6”，王志忠报“7”，林玉报“8”，王威报“9”，这样每个人报的数总比前一个人多1，问“43”是谁报的，“84”是谁报的？

[解析]　9名同学重复报数，一个周期里有9个数，计算43里面有几个9，而43÷9＝4(组)……7(个)，余数7是指43是“王志忠”报的，同理84÷9＝9(组)……3(个)，余数3是指84是“田雨”报的．即43是王志忠报的，84是田雨报的．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为(　D　)

A．2 s,10 mm B．1 s,20 mm

C．1 s,10 mm D．2 s,20 mm

[解析]　图象可知，重复一次所需时间T＝2 s，当t＝25 s时，因为25＝2×12＋1，所以25 s时的高度与1 s时的高度相同，即20 mm.

2．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯是蓝灯，那么第90盏灯是(　A　)

A．红灯 B．蓝灯

C．黄灯 D．绿灯

[解析]　按顺序每4盏灯又重复前面的顺序，是周期性的．又90＝4×22＋2，所以第90盏灯是红灯．

3．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 019)的值为(　A　)

A．2 B．0

C．－2 D．±2

[解析]　∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，

∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)，即f(x＋1)＝－f(x－1)．

∴f(x＋2)＝－f(x)．

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.

∴f(2 019)＝f(3)＝2.

4．(多选)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋8)＝f(x)，f(x)的图象关于x＝2对称，且在区间[0,2]上是增函数，若关于x的方程f(x)＝m在区间[－8,8]上有根，则所有根的和为(　ABCD　)

A．0 B．±4

C．8 D．－8

[解析]　由周期性，奇偶性，对称性，作图如下：

由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知，关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.

二、填空题

5．已知地球的自转周期约为24小时，其绕太阳的公转周期约为365天．木星的自转周期约为10小时，公转周期约为12年．

(1)如果地球自转5周，那么木星自转 12 周；

(2)如果在木星上生活10年，那么等于在地球上生活 120 年．

[解析]　(1)5×＝12；

(2)10×＝120.

6．如图所示的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M，N两点，经历的时间为t1＝1 s，过N点后，再经过t2＝1 s第一次反向通过N点，则振子的振动周期T＝ 4 s.

[解析]　设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O运动到B的时间为，而振子以相同的速度通过M、N的时间为t1＝1 s，则O到N的时间为，又向右经N—B—N的时间为t2＝1，则N到B的时间为，

∴＝＋＝＋＝1．

∴T＝4 s.

三、解答题

7．如图为某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：

(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？

[解析]　(1)由图易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次．

(2)如果从O点算起，则到曲线上的D点完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点完成了一次往复运动．

8．毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家．有一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A，B，C，…，G如下表所示)，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是那一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？

……

[解析]　发现数“2,3,4，…，1 997,1 998,1 999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，而1 999－1＝12×166＋6，也就是说循环出现166次后，再从B数6个，所以数到1999的那根柱子的标号是G.