北师大版 (2019)必修 第二册4.4 诱导公式与旋转练习

第一章　4.4

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知cos ＝，那么sin α等于(　A　)

A．－　　　　　　 B．

C．－ D．

[解析]　＝cos＝cos＝－sin α，

所以sin α＝－.故选A．

2．若sin <0，且cos >0，则θ是(　C　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

[解析]　由于sin＝cos θ<0，cos＝－sin θ>0，即sin θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．

3．已知cos ＝－，则sin 等于(　A　)

A．－ B．

C．－ D．

[解析]　sin＝sin

＝cos＝－，故选A．

4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(3π－α)的值为(　D　)

A．－m　　　　 B．－m

C．－m D．m

[解析]　由sin(π＋α)＋cos

＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，

∴sin α＝，

∴cos＋2sin(3π－α)＝sin α＋2sin(π－α)＝3sin α＝m.

故选D．

5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　D　)

A．cos(A＋B)＝cos C

B．sin(A＋B)＝－sin C

C．cos＝sin B

D．sin＝cos

[解析]　在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故A错；

sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故B错；

由于＋C有可能为钝角，故cos可能小于零，而sin B>0，故C不一定成立．

sin＝sin＝cos.故D正确．

6．(多选)下列三角函数式的值与sin的值相同的是(　BC　)

A．sin，n∈Z B．cos，n∈Z

C．sin，n∈Z D．cos，n∈Z

[解析]　sin＝sin≠sin；

cos＝cos＝sin；

sin＝sin；

cos＝cos＝－cos≠sin，故选BC．

二、填空题

7．计算cos＋sin＝  .

[解析]　依题意，原式＝cos＋sin

＝cos＋sin

＝cos＋sin＝.

8．化简＝ －1 .

[解析]　原式＝

＝＝－1．

9．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)＝ － .

[解析]　因为cos 10°＝sin 80°，

所以f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos(3×80°)

＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.

三、解答题

10．化简

＋.

[解析]　原式＝＋

＝－sin α＋sin α＝0.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　A　)

A．－ B．－

C．－ D．－4

[解析]　∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，

∴由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝.

∵

＝＝＝－.

∴选A．

2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　CD　)

A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x

C．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x

[解析]　因为sin(－x)＝－sin x，故A不成立；

因为sin＝－cos x，故B不成立；

因为cos＝－sin x，故C成立；

因为cos(x－π)＝－cos x，故D成立．故选CD．

3．已知sin＝，则cos的值为(　D　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　∵sin＝，

∴cos＝cos

＝－sin＝－.

4．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　D　)

A． B．

C．－ D．－

[解析]　∵cos(75°＋α)＝.

∴sin(α－15°)＋cos(105°－α)

＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [180°－(α＋75°)]

＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)

＝－.

二、填空题

5．已知sin＝，则sin＝  .

[解析]　∵sin＝cos α＝，

∴sin＝cos α＝.

6．化简＝ －1 .

[解析]　原式＝

＝＝＝－1．

三、解答题

7．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．

[解析]　由sin(α－3π)＝2cos(α－4π)

得sin(α－π)＝2cos α，

即sin α＝－2cos α.

∴

＝

＝

＝－.

8．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．

若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角x，有sin2x＋cos2x＝1成立)

[解析]　由条件得

①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，③

又因为sin2α＋cos2α＝1，④

由③④得sin2α＝，即sin α＝±，

因为α∈，所以α＝或α＝－.

当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，

所以β＝，代入①可知符合条件．

当α＝－时，代入②得cos β＝，

又β∈(0，π)．

所以β＝，代入①可知不符合条件．

综上所述，存在α＝，β＝满足条件．