高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义达标测试

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

课后训练巩固提升

1.若角α的终边经过点P(-1,-1),则(　　)

A.cos α=- B.sin α=-1

C.cos α= D.sin α=

解析:由点P的坐标计算得r=,则sinα==-,cosα==-.

答案:A

2.若α=-5,则(　　).

A.sin α>0,cos α>0 B.sin α>0,cos α<0

C.sin α<0,cos α>0 D.sin α<0,cos α<0

解析:因为-5(弧度制)为第一象限角,所以sinα>0,cosα>0.

答案:A

3.(多选题)若角α的终边在直线y=-2x上,则sin α的可能取值为(　　).

A. B.- C. D.-

解析:设角α的终边y=-2x上一点(a,-2a),

当a>0时,r=a,sinα==-,

当a<0时,r=-a,sinα=.故选CD.

答案:CD

4.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,则b的值为(　　).

A.-3 B.3 C.±3 D.5

解析:因为角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=-,所以cosα=-=-,则b>0,解得b=3.

答案:B

5.已知角α的终边经过点P(8,-6),则sin α-cos α的值是(　　).

A. B.- 

C. D.-

解析:由三角函数定义知,r=|OP|==10,故sinα==-,cosα=,

则sinα-cosα=-.

答案:D

6.已知α>β>0,则(　　).

A.sin α>sin β B.cos α<cos β

C.log2α>log2β D.2α<2β

解析:当α=4π,β=2π时,sinα=sinβ=0,cosα=cosβ=1,故A,B两个选项错误.

由于2>1,故log2α>log2β,2α>2β,所以C正确,D错误.故选C.

答案:C

7.sin 2·cos 3·cos 6的值(　　).

A.小于0 B.大于0

C.等于0 D.不存在

解析:∵sin2>0,cos3<0,cos6>0,

∴sin2·cos3·cos6<0.

答案:A

8.若角α的终边上有一点(-a,2a)(a<0),则sin α=(　　).

A.- B. 

C. D.-

解析:因为a<0,

所以sinα==-.

答案:D

9.y=3sin x,x∈的值域为　　　　　. 

解析:借助单位圆(图略)可知,函数y=sinx,x∈,在x=处取最大值1,在x=-和x=处同时取得最小值-,即-≤sinx≤1,故-≤3sinx≤3.

答案:

10.函数y=cos α,α∈的值域是　　　　　. 

解析:结合单位圆(图略)可知,当α∈时,-1≤cosα≤1,

所以-≤y≤,即函数的值域是[-].

答案:[-]

11.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:∵点(3a-9,a+2)在角α的终边上,sinα>0,cosα≤0,∴解得-2<a≤3.

答案:(-2,3]

12.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　. 

解析:要使函数式有意义,需由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].

答案:[-4,-π]∪[0,π]

13.求函数y=的值域.

解:由sinx≠0,cosx≠0知,x的终边不能落在坐标轴上,当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,sinxcosx>0,y=0;

当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,sinxcosx<0,y=2;

当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,sinxcosx>0,y=-4;

当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,sinxcosx<0,y=2.

故函数y=的值域为{-4,0,2}.

14.已知函数f(x)=.

(1)判断函数f(x)是不是周期函数;

(2)求函数f(x)的单调递增区间;

(3)当x∈时,求f(x)的值域.

解:(1)因为-1≤sinx≤1,所以2-sinx≠0,则f(x)的定义域是R.

根据终边相同角的三角函数值相等,可得f(x+2π)==f(x),

故f(x)是周期函数.

(2)由正弦函数的基本性质,可知在区间(k∈Z)上,函数y=sinx单调递增,而此时函数h(x)=2-sinx单调递减,从而可知此时函数f(x)单调递增,故可知函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(3)设t=sinx,则t∈,得1≤2-t<,则≤1.

故f(x)的值域为.