高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课时作业

课后素养落实(四)　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若sin α·cos α>0，则α在(　　)

A．第一、二象限     B．第一、三象限

C．第一、四象限     D．第二、四象限

B　[由于sin α·cos α>0，∴sin α与cos α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B.]

2．函数y＝的定义域为(　　)

A．R     B．{x∈R|x≠kπ，k∈Z}

C．[－1，0)∪(0，1]     D．{x|x≠0}

B　[∵sin x≠0，∴x≠kπ(k∈Z).故选B.]

3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)

A．y＝3，x＝

B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)

C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)

D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)

C　[由函数性质得ymax＝3，此时sin x＝－1，即x＝2kπ－(k∈Z)，故选C.]

4．设函数f(x)＝sin x(x∈R)，对于以下三个命题：

①函数f(x)的值域是[－1，1]；

②当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1；

③当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

C　[显然①②正确，③不正确，故选C.]

5．某点从点(1，0)出发，沿以坐标原点为圆心的单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)

A．     B．

C．     D．

A　[ 由三角函数定义可得Q，

∵cos ＝－，sin ＝，∴Q.]

二、填空题

6．函数y＝的定义域为________．

R　[由2＋cos x≠0知cos x≠－2，

又由cos x∈[－1，1]，故定义域为R.]

7．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为________．

－　[ ∵cos α＝＝＝x，

∴x＝0或2(x2＋5)＝16，

解得x＝0或x2＝3，又∵x<0，∴x＝－.]

8．角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是________．

－2　[r＝＝，cos α＝＝－，

∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2且2a＋1＜0，解得a＝－2.]

三、解答题

9．求sin 与cos 的值．

[解]　如图，在平面直角坐标系中作∠AOB＝，

则∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为B，

所以sin ＝－，cos ＝－．

10．已知＝－sin α，且lg (cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．

[解]　(1)∵＝－sin α，∴sin α＜0. ①

∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.  ②

由①②得角α的终边在第四象限．

(2)∵点M在单位圆上，

∴＋m2＝1，解得m＝±，又α是第四象限角，

∴m＜0，∴m＝－.

则sin α＝－.

11．如果点P位于第二象限，那么角α的终边在(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

C　[由题意知sin α＋cos α<0，且sin αcos α>0，

∴ ，

∴α为第三象限角．]

12．(多选题)函数y＝sin 2x的一个增区间是(　　)

A．[－，]     B．[－，]

C．[0，]     D．[－，0]

BC　[由正弦函数知y＝sin 2x在－≤2x≤单调递增，故选BC.]

13．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．

sin α＋cos α>1　[设P是角α终边上异于坐标原点的一点，则x>0，y>0，

所以sin α＋cos α＝>＝1.]

14．使得lg sin α有意义的角α的取值集合是________．

　[由题意知，sin α>0，所以2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.]

15．求使函数y＝－sin2x＋sinx＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值．

[解]　令t＝sin x，则－1≤t≤1.

y＝－t2＋t＋＝－＋2.

所以，当t＝时，ymax＝2.

此时sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z).

∴当t＝－1时，ymin＝－.

此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z).