高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步达标检测题

课时跟踪检测（十九）  直线与圆位置关系的应用

1．直线 x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得到的劣弧所对的圆心角为(　　 )

A．30°　　　　　　　　　 B．45°

C．60°  D．90°

解析：选C　因为圆心到直线的距离为d＝＝，圆的半径为2，所以劣弧所对的圆心角为60°.

2．已知点A(－1, 1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　 )

A．6－2  B．8

C．4  D．10

解析：选B　因为点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5, 7)的距离为＝10.所以所求最短路程为10－2＝8.

3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　 )

A．3－  B．3＋

C．3－   D．

解析：选A　因为lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1.所以(S△ABC)min＝×2×＝3－.

4．若P(x, y)在圆(x＋3)2＋(y－3)2＝6上运动，则的最大值等于(　　 )

A．－3＋2  B．－3＋

C．－3－2  D．3－2

解析：选A　设＝k，则y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，k取最值．所以＝，解得k＝－3±2. 故的最大值为－3＋2.

5．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)

A．1  B．2

C．  D．3

解析：选C　因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C.

6．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m.

解析：设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，OB2＝OD2＋BD2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13 m.

答案：13

7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.

解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则台风经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN，可求得|MN|＝20，所以时间为1 h.

答案：1

8．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.

解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.

答案：2

9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？

解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，

设圆的半径长为r，则C(0，－r)，

即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.

将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，

所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.

当水面下降1 m后，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝2，

即当水面下降1 m后，水面宽2 m.

10.如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．

证明：以BC中点为坐标原点，以直线BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．

设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．

所以|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．

1．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于(　　 )

A．24　　　 B．16 

C．8　　　　 D．4

解析：选C　因为四边形PAOB的面积S＝2×·|PA|·|OA|＝2＝2，所以|OP|最小时，四边形PAOB的面积最小，所以当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，此时|OP|有最小值d＝＝2，所求四边形PAOB的面积的最小值为2＝8.

2.[多选]如图所示，已知直线l为y＝x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为的圆C，圆心C从点开始以每秒个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间为(　　 )

A．6 s　　　 B．8 s 

C．16 s　　　　 D．10 s

解析：选AC　当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为 ＝，解得m＝－或m＝－，∴该圆运动的时间为＝6(s)或＝16(s)．

3．在△AOB中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，点P是△ABO内切圆上一点，则以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为______，最小值为______．　

解析：如图，建立直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0). 易求得△ABO的内切圆半径r＝1，圆心(1,1)．故内切圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1.

化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，    ①

设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.                                                                                                                ②

由①可知x2＋y2－2y＝2x－1，将其代入②有

|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25

＝－2x＋22.

因为x∈[0,2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为π2＋π2＋π2＝(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)．

所以所求面积的最大值为，最小值为.

答案：　

4.已知圆E：(x－1)2＋y2＝4，线段AB，CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示．

(1)设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；

(2)求证：|OA|·|OB|为定值．

解：(1)设A(x1，y1)，代入圆E：(x－1)2＋y2＝4，得y＝－x＋2x1＋3，所以|OA|＝＝.

(2)证明：设B(x2，y2)，同理可得|OB|＝，

所以|OA|·|OB|＝.①

当x1≠x2时，设直线AB的方程为y＝kx，

代入圆的方程得(k2＋1)x2－2x－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝－，

代入①式可得|OA|·|OB|＝3.

当x1＝x2时，直线过原点，直线AB的方程为x＝0，即x1＝x2＝0，代入①式可得|OA|·|OB|＝3.

综上所述，|OA|·|OB|＝3为定值．

5．有一种商品，A，B两地均有出售且价格相同，某居住地的居民从两地往回运时，每千米的运费A地是B地的3倍．已知A，B两地相距10 km，问这个居住地的居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)．

解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系．

|AB|＝10，所以A(－5,0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，连接PA，PB.

设从B地运往P地每千米的运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则从A地运往P地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，

即3＝，

整理得2＋y2＝2.①

所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．