人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线测试题

课时跟踪检测（二十八）  直线与抛物线的位置关系及应用

1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线(　　)

A．有且仅有1条　　　　 B．有且仅有2条

C．有1条或2条  D．不存在

解析：选C　|AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋5＝(a＋1)2＋4≥4，而通径的长为4，所以有1条或2条．

2．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交C于A，B两点，若|AB|＝16，则p＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．12

解析：选A　抛物线C：x2＝2py的焦点为F，直线l：y－＝x，可得x＝，代入抛物线方程，得y2－7py＋p2＝0，则y1＋y2＝7p，|AB|＝y1＋y2＋p＝7p＋p＝16，解得p＝2.

3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2  B．2

C．2  D．2

解析：选B　设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝ ·＝·＝2.

4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A．  B．[－2,2]

C．[－1,1]  D．[－4,4]

解析：选C　准线为x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，由

得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.

当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；

当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.

综上，k的取值范围是[－1,1]．

5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：选D　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，

联立解得或

不妨设M(1,2)，N(4,4)．

又∵抛物线焦点为F(1,0)，

∴＝(0,2)，＝(3,4)．

∴·＝0×3＋2×4＝8.

6．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.

解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.

答案：8

7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是______．

解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y＋y最小为32.

答案：32

8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________.

解析：假设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6，点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△ABP的面积为×6×12＝36.

答案：36

9．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值．

解：由消去y，

得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.

由Δ＞0，得b＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.

∴|x1－x2|＝＝.

∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，

∴1－2b＝9，即b＝－4.

10．已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，求△DAB的面积S的取值范围．

解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，D(－1,0)，设过点F的直线l：x＝ty＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x, 整理得y2－4ty－4＝0，

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

所以S△DAB＝×|FD|×|y2－y1|＝

＝＝4≥4，

故△DAB的面积S的取值范围为[4，＋∞)．

1．过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为的直线，交抛物线于A，B两点，若＝λ (λ>1)，则λ＝(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程可得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝(x1>x2)，因为|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以λ＝＝＝＝3.

2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选D　易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.

3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则实数k的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选D　由题知抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，

所以k＝.

4．已知抛物线y2＝4x和点M(6,0)，O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．

(1)求·；

(2)若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．

解：(1)设直线l的方程为x＝my＋6，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋6与抛物线y2＝4x得y2－4my－24＝0，显然Δ>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－24，x1x2＝36，可得·＝x1x2＋y1y2＝12.

(2)因为S△OAB＝|OM|·|y1－y2|＝3＝12 ＝12，所以m2＝4，m＝±2.

故直线l的方程为x＋2y－6＝0或x－2y－6＝0.

5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.

(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；

(2)求证：直线AB过定点．

解：(1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则有kOA＝，kOB＝.

因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，

所以x1x2＋y1y2＝0.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.

因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.

(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，

所以＝，所以kAB＝，

故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，

所以y＝＋y1－，

即y＝＋.

因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，

代入整理得y＝＋，

所以y＝(x－2p)，

即直线AB过定点(2p,0)．

6．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

(2)若＝3，求|AB|.

解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.

又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.

由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－.

从而－＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－.

(2)由＝3可得y1＝－3y2.

由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，

从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.

代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.