人教A版 (2019)3.1 椭圆当堂检测题

课时跟踪检测（二十三）  直线与椭圆的位置关系及应用

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)

A．至多为1  B．2

C．1  D．0

解析：选B　由题意知，>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)

A．　　　　　　　　　 B．

C．   D．

解析：选A　由题意可得a＝，故a2＝3b2，e＝＝＝.

3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选B　由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由弦长公式得

|AB|＝×  ＝.

4．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)

A．9x－y－4＝0  B．9x＋y－5＝0

C．4x＋2y－3＝0  D．4x－2y－1＝0

解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∵点A，B在椭圆上，

∴＋x＝1，         ①

＋x＝1.         ②

①－②，得

＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.         ③

∵P是线段AB的中点，

∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，

代入③得＝－9，

即直线AB的斜率为－9.

故直线AB的方程为y－＝－9，

即9x＋y－5＝0.

5．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　)

A．±1  B．±

C．  D．±

解析：选A　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题意，得|AB|＝＝ ＝，解得m＝±1.

6．直线y＝kx＋k与焦点在y轴上的椭圆＋＝1总有两个公共点，则实数m的取值范围是________．

解析：直线y＝kx＋k恒过(－1,0)，

由直线y＝kx＋k与焦点在y轴上的椭圆＋＝1总有两个公共点，可得解得m∈(1,4)．

答案：(1,4)

7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，

由消去y，得3x2－4x＝0.

∴A(0，－1)，B，∴|AB|＝，

∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.

答案：

8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

解析：由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，

∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝.

答案：

9．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．

解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

依题意，有a2－b2＝(5)2＝50.         ①

由

消去y并整理，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.

因为＝，所以＝，

所以a2＝3b2.         ②

由①②，得a2＝75，b2＝25.

经检验，此时Δ>0.

所以椭圆方程为＋＝1.

10．顺次连接椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点恰好构成了一个边长为 且面积为2 的菱形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点Q(0，－2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA•kOB＝－1，其中O为坐标原点，求|AB|.

解：(1)由题可知，2ab＝2，a2＋b2＝3，

解得a＝，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设直线l的方程为y＝kx－2，将其代入方程＋y2＝1，

整理得(1＋2k2)x2－8kx＋6＝0.

由Δ＝64k2－24(2k2＋1)＞0，解得k2>，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

kOA·kOB＝＝＝－1，解得k2＝5.

所以|AB|＝ ＝.

1．[多选]已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有(　　)

A．y＝3x－2  B．y＝3x＋1

C．y＝－3x－2  D．y＝－3x＋2

解析：选ACD　作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标原点对称，而A、C、D中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，而B中的直线被椭圆截得的弦长大于8，故选A、C、D.

2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

解析：选D　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D.

3．已知椭圆＋＝1，直线y＝x与椭圆交于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的点，且直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB＝(　　)

A．2   B.

C. －   D. －2

解析：选C　将直线y＝x代入椭圆＋＝1，得A，B，设点P(x，y)，则直线PA，PB斜率分别为kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝＝＝－.

4．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．

解析：设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F＝，∴|AF|＝|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为＝＝＝－1.

答案：－1

5．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．

解：(1)由解得所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，

联立整理得y2－y－9＝0，

Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝，

又＝2，所以y1＝－2y2，

所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，

解得k＝±，又k＞0，所以k＝.

6．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点F′的坐标为(－2,0)．

所以解得

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝x＋t(t≠0)．

由消去y，整理得3x2＋3tx＋t2－12＝0.

因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4，且t≠0.

另一方面，由直线OA与l的距离d＝4可得＝4，解得t＝±2.

因为±2∉[－4，0)∪(0,4]，

所以符合题意的直线l不存在．