人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时教案及反思

【新教材】8.6.3 平面与平面垂直 教学设计（人教A版）

第2课时 平面与平面垂直的性质

在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.

课程目标

1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.

2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

数学学科素养

1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；

2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：平面和平面垂直的性质定理.

难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

已知面面平行则一个平面内的任意直线都平行与另一个平面，那么面面垂直，则一个平面内的任一直线与另一个平面是否垂直？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本159-161页，思考并完成以下问题

1、如果两个平面垂直,那么满足什么条件时，一个平面内的直线与另一个平面垂直?

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

  1、平面与平面垂直的性质定理

探究: (1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?

(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?答案:平行.

答案: (1)正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.

(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.

四、典例分析、举一反三

题型一  平面与平面平行的性质定理的应用

例1 在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，在平面AB内作于点D.

∵平面平面PBC，且平面平面，

∴平面PBC.

又平面PBC，∴.

∵平面ABC，平面ABC，

∴.

∵，∴平面PAB.

解题技巧（性质定理应用的注意事项）

利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.

跟踪训练一

1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;

(2)求证:AD⊥PB.

【答案】证明见解析.

【解析】(1)如图所示,连接BD.

因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,

因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.

 (2)连接PG.

因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.

由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.

所以AD⊥平面PBG.

又因为PB⊂平面PBG,

所以AD⊥PB.

题型二  线面、面面垂直的的综合应用

例2 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.

(1)证明:BC∥平面PDA;

(2)证明:BC⊥PD;

(3)求点C到平面PDA的距离.

【答案】（1）见解析（2）见解析. (3) .

【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,

又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,

所以BC∥平面PDA.

(2)证明:取CD的中点H,连接PH,

因为PD=PC,所以PH⊥CD.

又因为平面PDC⊥平面ABCD,

平面PDC∩平面ABCD=CD,

所以PH⊥平面ABCD.

又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.

又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,

所以BC⊥平面PDC.

又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.

(3)解:连接AC.由(2)知PH为三棱锥P-ADC的高.

因为PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,

所以=·S△ADC·PH=×9×=3.

由(2)知BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,

所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.

设点C到平面PDA的距离为h.因为=,所以·S△PDA·h=3,

所以h===.

解题技巧 (空间垂直关系的注意事项)

直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.

跟踪训练二

1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面ABCD.

(1)求证:AQ∥平面CEP;

(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.

【答案】证明见解析

【解析】证明:(1)在矩形ABCD中,

因为AP=PB,DQ=QC,所以AP   CQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.

因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.

(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.

因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.

所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.

因为AQ⊂平面AEQ,

所以平面AEQ⊥平面DEP.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本161页练习，162页习题8.6的剩余题.

直线与直线垂直，直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定定理、性质定理,揭示了线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系捋顺.