人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时教案

【新教材】8.6.3 平面与平面垂直

 教学设计（人教A版）

第1课时 平面与平面垂直的判定

在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.

课程目标

1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；

2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.

3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

数学学科素养

1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；

2. 数学运算：求二面角；

3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.

难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直.那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本155-158页，思考并完成以下问题

1、什么是二面角？什么是直二面角？

2、平面与平面平行的判定定理是什么？

3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.二面角

(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.

(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

2.平面与平面垂直

(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作 α⊥β.

(2)判定定理

四、典例分析、举一反三

题型一  对面面垂直判定定理的应用

例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．

证明：平面平面.

【答案】证明见解析．

【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，

∴，即．

又∵垂直于所在平面，平面

∴．

∴

∴平面．

又平面，

∴平面平面．

解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）

(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;

(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;

(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.

跟踪训练一

1、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.

【答案】证明见解析.

【解析】证明 由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,

又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.

在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.

因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.

题型二  求二面角

例2 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:

(1)求二面角D′-AB-D的大小;

(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.

【答案】(1) 45°. (2)45°.

【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,

在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.

所以二面角D′-AB-D的大小为45°.

(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.

从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.

所以二面角M-AB-D的大小为45°.

解题技巧： (作二面角的三种常用方法)

(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

跟踪训练二

1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2   .

(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;

(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.

【答案】证明见解析

【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.

经计算,得AC=2,AB=2.所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.

又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.

因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.

又BC⊂平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.

(2)如图,取AB的中点F,连接PF.

因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,

又平面PAB∩平面ABC=AB,PF⊂平面PAB,

所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.

过F作FG⊥EC于G,连接PG.

因为PF⊥EC,PF∩FG=F,

所以EC⊥平面FPG.

因为PG⊂平面FPG,

所以EC⊥PG.

于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,

因此,∠PGF=30°.

又PF====,

所以FG=.设BE=x(x>2),由(1)知BC⊥AB,

所以△EFG∽△ECB,得=.因此,=,

即x2-4x-8=0,解得x=2+4(x=2-4舍去).

所以BE=2+4.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本158页练习，162页习题8.6的3、6、7、8题.

学生了解两个平面垂直的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的课堂中心是判定定理的引入与理解，判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.