人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时导学案

【新教材】 8.6.3 平面与平面垂直（人教A版）

第2课时 平面与平面垂直的性质

1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.

2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；

2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：平面和平面垂直的性质定理.

难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.

一、    预习导入

阅读课本141-142页，填写。

  1、平面与平面垂直的性质定理

探究: (1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?

(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?

1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是(　 　)

 A.AP⊥AC

 B.AP⊥AB

 C.AP⊥平面ABC

 D.AP与BC所成的角为45°

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则(　 　)

   A.B1B⊥l             B.B1B∥l

   C.B1B与l异面        D.B1B与l相交

3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是(　　)

A.若α∥β,则m∥n      B.若m∥n,则α∥β

C.若n⊥α,则m⊥β      D.若m⊥β,则α⊥β

4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线　　　　上. 

题型一  平面与平面平行的性质定理的应用

例1 在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.

跟踪训练一

1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;

(2)求证:AD⊥PB.

题型二  线面、面面垂直的的综合应用

例2 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.

(1)证明:BC∥平面PDA;

(2)证明:BC⊥PD;

(3)求点C到平面PDA的距离.

跟踪训练二

1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面ABCD.

(1)求证:AQ∥平面CEP;

(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.

1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线　②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线　③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面　④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是(　　)

A.3     B.2      C.1    D.0

2.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是(　　)

A.直角三角形 B.等腰三角形

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

3.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为(　　)

A.1   B.2   C.3  D.4

4.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是　　　　　　.

5.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.

(1)求证:BD⊥AA1;

(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.

答案

小试牛刀

1．D.

2．B.

3．D.

4. AB.

自主探究

例1 【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，在平面AB内作于点D.

∵平面平面PBC，且平面平面，

∴平面PBC.

又平面PBC，∴.

∵平面ABC，平面ABC，

∴.

∵，∴平面PAB.

跟踪训练一

1.【答案】证明见解析.

【解析】(1)如图所示,连接BD.

因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,

因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.

 (2)连接PG.

因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.

由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.

所以AD⊥平面PBG.

又因为PB⊂平面PBG,

所以AD⊥PB.

例2 【答案】（1）见解析（2）见解析. (3) .

【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,

又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,

所以BC∥平面PDA.

(2)证明:取CD的中点H,连接PH,

因为PD=PC,所以PH⊥CD.

又因为平面PDC⊥平面ABCD,

平面PDC∩平面ABCD=CD,

所以PH⊥平面ABCD.

又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.

又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,

所以BC⊥平面PDC.

又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.

(3)解:连接AC.由(2)知PH为三棱锥P-ADC的高.

因为PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,

所以=·S△ADC·PH=×9×=3.

由(2)知BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,

所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.

设点C到平面PDA的距离为h.因为=,所以·S△PDA·h=3,

所以h===.

跟踪训练二

1、【答案】证明见解析

【解析】证明:(1)在矩形ABCD中,

因为AP=PB,DQ=QC,所以AP   CQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.

因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.

(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.

因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.

所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.

因为AQ⊂平面AEQ,

所以平面AEQ⊥平面DEP.

当堂检测 

1-3. CAC

4. 以AB为直径的圆(除去A,B两点).

5．【答案】证明见解析.

【解析】证明:(1)在四边形ABCD中,

因为AB=BC,AD=DC,

所以BD⊥AC,

又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,

BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,

又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.

(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC,

又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.

所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,

所以DC⊥BC,所以AE∥CD.

因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,

故得AE∥平面DCC1D1.