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北师大版高中数学必修第二册第四章三角恒等变换检测试题含答案
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第四章 检测试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是( B )(A)- (B)- (C) (D)2.若tan(+α)=2,则tan α的值为( A )(A) (B)- (C) (D)-3.已知tan α=,则2+cos 2α等于( A )(A) (B) (C)2 (D)34.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为O,始边为x轴的非负半轴,若点P(-1,2)是角α终边上的一点,则tan(π-2α)等于( B )(A)- (B)- (C) (D)5.已知cos θ=,tan θ<0,则sin(π-2θ)等于( A )(A)- (B)-(C)- (D)6.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin2α+sin 2α等于( B )(A) (B) (C) (D)解析:由正弦、余弦函数的定义有sin α==-,cos α==-,所以sin2α+sin 2α=sin2α+2sin αcos α=+2×(-)×(-)=.故选B.7.已知α∈(-,0),cos α=,则tan 等于( D )(A)3 (B)-3 (C) (D)-解析:由题sin α=-,故tan ===-.故选D.8.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0,则A的值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:因为acos C+asin C-b-c=0,所以由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.因为B=π-(A+C),所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C+sin Asin C-(sin Acos C+cos Asin C)-sin C=0,即sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,因为sin C≠0,所以sin A-cos A=1,所以sin(A-)=,因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,得A=.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.已知tan θ=3sin(θ-π),则cos θ的值可能为( ABD )(A)-1 (B)- (C) (D)1解析:因为tan θ=3sin(θ-π),所以=-3sin θ.若sin θ=0,则cos θ=1或-1,若sin θ≠0,则cos θ=-.故选ABD.10.下列各式值为的是( ACD )(A)2sin 75°cos 75°(B)1-2sin215°(C)cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°(D)解析:2sin 75°cos 75°=sin 150°=,故选项A正确;1-2sin215°=cos 30°=,故选项B不正确;cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°=cos(45°+15°)=cos 60°=,故选项C正确;=tan(77°-32°)=tan 45°=.故选项D正确.故选ACD.11.下列等式成立的是( ABD )(A)cos215°-sin215°=(B)sin 22.5°cos 22.5°=(C)sin 40°+cos 40°=sin 70°(D)tan 15°=2-解析:cos215°-sin215°=cos 30°=,故A正确;sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,故B正确;sin 40°+cos 40°=sin 40°cos 60°+sin 60°cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故C错误;tan 15°=tan(45°-30°)===2-,故D正确.故选ABD.12.已知函数f(x)=sin ωx-sin(ωx+)(ω>0)在[0,π]上的值域为[-,1],则实数ω的值可能为( ABC )(A)1 (B) (C) (D)2解析:f(x)=sin ωx-sin(ωx+)=sin ωx-sin ωxcos -cos ωxsin =sin ωx-cos ωx=sin(ωx-),因为x∈[0,π],所以ωx-∈[-,ωπ-],又函数f(x)在[0,π]上的值域为[-,1],f(0)=-,所以由正弦函数的对称性,只需≤ωπ-≤,则≤ω≤.故选ABC.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.= . 答案:214.已知tan(π-α)=-,则sin 2α的值为 . 解析:tan(π-α)=-,则tan α=,sin 2α=2sin αcos α====.答案:15.tan 10°+tan 20°+tan 10°tan 20°= . 解析:原式=tan 30°(1-tan 10°tan 20°)+tan 10°tan 20°=.答案:16.将函数y=3sin(2x+)的图象向右平行移动个单位长度后,得到函数y=f(x)的图象,若f(α)=,则f(2α+)= . 解析:由题f(x)=3sin(2x-),由f(α)=,得sin(2α-)=,f(2α+)=3sin[2(2α+)-]=3sin(4α+)=3cos[-(4α+)]=3cos(4α-)=3×[1-2sin2(2α-)]=3×(1-2×)=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知tan α=-,且α是第二象限的角.(1)求sin α和cos α的值;(2)求的值.解:(1)由题设α终边上一点P(-3,4),r=|OP|=5,所以cos α=-,sin α=.(2)===-.18.(本小题满分12分)已知cos α+sin α=(<α<π).(1)求sin α·cos α及sin α-cos α的值;(2)求tan α的值.解:(1)由题,1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-,因为<α<π,则cos α<0<sin α,所以sin α-cos α>0,因此,sin α-cos α===.(2)由已知条件可得解得因此,tan α==-.19.(本小题满分12分)证明下列各恒等式:(1)=;(2)=.证明:(1)=====.(2)因为==,=====,所以=.20.(本小题满分12分)已知tan(-α)=,α∈(0,).(1)求f(α)=的值;(2)若β∈(0,),且sin(+β)=,求α+β的值.解:(1)因为tan(-α)=,α∈(0,),所以=,解得tan α=.所以f(α)== ===-.(2)因为β∈(0,),且sin(+β)=,所以<+β<,所以cos(+β)<0,cos(+β)=,所以sin β=sin[(β+)-]=sin(β+)·cos -cos(β+)sin =×(-)-()×=,β∈(0,),所以cos β=.所以tan β=.所以tan(α+β)===1,又因为α+β∈(0,),所以α+β=.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-≤<)的图象关于直线x=对称,且图象相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和的值;(2)若f()=(<α<),求cos(α-)的值.解:(1)因为y=f(x)图象相邻两个最高点的距离为π,所以y=f(x)的最小正周期为π,所以=π,又ω>0,解得ω=2.因为y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×+=kπ+,又-≤<,解得=-.(2)由(1)知,f(x)=sin(2x-),所以f()=sin(α-)=,所以sin(α-)=.因为<α<,所以0<α-<.所以cos(α-)===,所以cos(α-)=cos(α--)=cos(α-)cos +sin(α-)sin =×+×=.22.(本小题满分12分)在下列三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.①sin 2θ+cos 2θ-4cos θ+1=0;②1-4cos 2θ=2sin θ;③cos(θ+)=.如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上移动(不含端点),∠EDF=θ,且 ,∠ADF=α. (1)求θ的值;(2)求△EDF面积的最小值.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)解:(1)选择①,sin 2θ+cos 2θ-4cos θ+1=0,即2sin θcos θ+2cos2θ-4cos θ=0,又cos θ≠0,所以sin θ+cos θ-2=0,即2sin(θ+)=2.根据题意知0<θ<,所以θ=.选择②,1-4cos 2θ=2sin θ,即1-4(1-2sin2θ)=2sin θ, 8sin2θ-2sin θ-3=0, (2sin θ-)(4sin θ+)=0, 解得sin θ=或sin θ=-,根据题意知0<θ<,所以θ=.选择③,cos(θ+)=,根据题意知0<θ<,所以<θ+<,又cos(θ+)=,所以sin(θ+)==,所以sin θ=sin[(θ+)-]=×-×=,而0<θ<,所以θ=.(2)根据题意,易知DF=,DE=,0<α<,S△EDF=×sin ××=×=.由0<α<,得<2α+<,所以sin(2α+)∈(,1],当sin(2α+)=1,即2α+=,α=时,△EDF的面积最小,为=2-3.
