高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数章末复习

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1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．

3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．

6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．

8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．

9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

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一、指数、对数函数的典型问题及求解策略

指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．

1．求定义域

[典例1]　(1)函数y＝的定义域是(　　)

A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)

C．(－∞，－1] D．(－∞，－2]

(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]

C．[－2,2] D．(－1,2]

解析　(1)由题意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指数函数y＝x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.

(2)要使函数式有意义，需

即得x∈(－1,0)∪(0,2]．

答案　(1)C　(2)B

2．比较大小问题

比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．

[典例2]　若0<x<y<1，则(　　)

A．3y<3x B．logx3<logy3

C．log4x<log4y D．x<y

解析　因为0<x<y<1，则

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，错误．

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，错误．

对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，正确．

对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，错误．

答案　C

[典例3]　比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．

解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0,20.3>20＝1，∴log20.3<0.32<20.3.

解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.3<0.32<20.3.

3．与指数、对数函数相关的单调性问题

[典例4]　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．

解　设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．

当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上单调递增，故应满足解得a>，∴a>1.

当0<a<1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上单调递减，故应满足此不等式组无解．

综上可知，存在实数a，使f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，a的取值范围是a>1.

二、函数的图象问题

对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．

1．图象的变换

[典例5]　为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析　∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象．

答案　C

2．根据函数解析式确定图象

[典例6]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　)

解析　由f(4)g(4)<0知a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0<a<1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都单调递减．

答案　B

三、等价转化思想的体现

一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理．

[典例7]　已知函数f(x)＝x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．

解　∵x∈[－1,1]，∴x∈.

∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝2x－2ax＋3

＝2＋3－a2.

令t＝x，则t∈.

若a<，则当t＝，即x＝1时，

ymin＝－＋3＝－.

若≤a≤3，则当t＝a，即x＝loga时，ymin＝3－a2.

若a>3，则当t＝3，即x＝－1时，

ymin＝9－6a＋3＝12－6A．

综上可知：g(a)＝

四、函数零点与方程的解

根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．

[典例8]　关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于(　　)

A．6 B．5 

C．4 D．3

解析　将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．这样方程lg x＝3－x的解可以看成函数y1＝lg x和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x＝3－x的解可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lg x和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lg x和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.

答案　D

[典例9]　已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．

答案　x1＜x2＜x3

解析　令x＋2x＝0，得2x＝－x；

令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；

在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，所以＝，即x3＝2＞1.所以x1＜x2＜x3.

五、函数模型的应用

针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．

[典例10]　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？

解　(1)描点、作图，如图甲所示：

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：

y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．

(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．

[典例11]　载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2(其中k≠0，ln x是以e为底x的对数)．当燃料重量为(－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.

(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；

(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？

解　(1)由题意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8，

所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln .

(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.

将y＝8代入(1)中所得式中，得

8＝8ln .

解得x≈303.3.

答：应装载约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道．