高中数学第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计

这是一份高中数学第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计，共10页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第七章《复数》的第二节《复数的四则运算》。以下是本章的课时安排：
类比两个多项式相乘，明确复数乘法的运算过程，理解复数的乘法法则．前面我们学习了共轭复数的概念，从结构特点、几何意义和运算关系三个方面对共轭复数进行分析，为复数除法法则的定义做铺垫，类比无理数的分母有理化，理解复数的分母实数化．
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养。
1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；
2.难点：求复数范围内的方程根
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
问题 多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？
提示 (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.
2.探索交流，解决问题
【问题1】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？
[提示]两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？
[提示] 满足．
【问题3】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z的共轭复数eq \x\t(z)等于什么？zeq \x\t(z)是一个怎样的数？
[提示] eq \x\t(z)＝a－bi，zeq \x\t(z)＝a2＋b2是一个实数．
【问题4】一元二次方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？引入虚数单位i后，方程的解是什么？
[提示] 没有，x＝±i.

（二）复数的乘除运算
1.复数的乘法运算
eq \a\vs4\al(复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等)
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
2.复数的除法运算
复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同
设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，则 eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi, c＋di)＝eq \f((a＋bi)(c－di), (c＋di)(c－di))＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad, c2＋d2)i.
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
【做一做】1.若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.eq \r(3)
解析 z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝eq \r(2).
答案 B
2.已知i是虚数单位，则eq \f(3＋i,1－i)＝( )
A.1－2i B.2－i C.2＋i D.1＋2i
解析 eq \f(3＋i,1－i)＝eq \f(（3＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq \f(2＋4i,2)＝1＋2i，故选D.
答案 D
3.共轭复数的性质
【探究1】若z＝eq \x\t(z)，则z是什么数？这个性质有什么作用？
[提示] z＝eq \x\t(z)⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
【探究2】若z≠0且z＋eq \x\t(z)＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？
[提示] z≠0且z＋eq \x\t(z)＝0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数．
【探究3】三个实数|z|，|eq \x\t(z)|，z·eq \x\t(z)具有怎样的关系？
[提示] 设z＝a＋bi，则eq \x\t(z)＝a－bi，所以|z|＝eq \r(a2＋b2)，|eq \x\t(z)|＝eq \r(a2＋－b2)＝eq \r(a2＋b2)，z·eq \x\t(z)＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|eq \x\t(z)|2＝z·eq \x\t(z).
（三）典型例题
1.复数的乘法运算
例1.计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
【类题通法】1.两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数代数形式的乘法运算常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
(3)(1±i)2＝±2i.
【巩固练习1】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，
又此点在第二象限，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.
答案 B
2.复数的除法运算
例2. (1)eq \f(3＋i,1＋i)＝( )
A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
解析 (1)eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i.
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝eq \f(11＋7i,2－i)＝eq \f(（11＋7i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq \f(15＋25i,5)＝3＋5i.
答案 (1)D (2)A
【类题通法】(1)进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，eq \f(1,i)＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，eq \f(a＋bi,b－ai)＝i等.
(2)运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
【巩固练习2】 (1)在复平面内，复数eq \f(5i,2－i)的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)计算：eq \f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝________.
解析 (1)eq \f(5i,2－i)＝eq \f(5i（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq \f(5i（2＋i）,5)＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限.
(2)法一 eq \f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝eq \f(1＋7i,1－3i)＝eq \f(（1＋7i）（1＋3i）,10)
＝－2＋i.
法二 eq \f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4＋3i,2－i)))
＝eq \f(i（4＋3i）（2＋i）,5)＝eq \f(（－3＋4i）（2＋i）,5)
＝eq \f(－10＋5i,5)＝－2＋i.
答案 (1)B (2)－2＋i
3.复数范围内解方程
例3.在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
解 (1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，又因为(eq \r(5)i)2＝(－eq \r(5)i)2＝－5，
所以x＝±eq \r(5)i，所以方程x2＋5＝0的根为±eq \r(5)i.
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，
因为(eq \r(2)i)2＝(－eq \r(2)i)2＝－2，所以x＋2＝eq \r(2)i或x＋2＝－eq \r(2)i，
即x＝－2＋eq \r(2)i或x＝－2－eq \r(2)i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±eq \r(2)i.
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＋4a＋6＝0，,2ab＋4b＝0，))
又因为b≠0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＋4a＋6＝0，,2a＋4＝0，))解得a＝－2，b＝±eq \r(2).
所以x＝－2±eq \r(2)i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±eq \r(2)i.
【类题通法】在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a).
②当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－（b2－4ac）)i,2a).
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【巩固练习3】已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
解 因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，
所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，
整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10＋3p＋q＝0，,24＋2p＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝－12，,q＝26.))
（四）操作演练 素养提升
1.设a是实数，且eq \f(a,1＋i)＋eq \f(1＋i,2)是实数，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
2.(1＋i)(2－i)＝( )
A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i
3.设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数eq \f(i,z1)＋eq \f(\(z,\s\up6(－))2,5)的虚部等于________.
4.已知复数z满足：z·eq \(z,\s\up6(－))＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.
答案：1.B 2.D 3.1 4.4
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第80页 练习 第1，2，3,4题
第80页 习题7.2 第3,4,6,7题










第七章 复数
课时内容
7.1复数的概念
7.2复数的四则运算
7.3 复数的三角表示
所在位置
教材第68页
教材第75页
教材第83页
新教材
内容
分析
本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
上一节我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算，即复数的加、减、乘、除运算及其几何意义。
前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。
核心素养培养
了解数系的扩充过程，理解复数的概念和复数相等的充要条件，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养。
通过实例，明确复数的四则运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养。
教学主线
复数的概念、复数的运算
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3