专题12 三角形的初步认识单元综合提优专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题12三角形的初步认识单元综合提优专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( )
A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】
把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件,那么后面跟的是结论.
【详解】
解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线,
故选D.
【点睛】
本题考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键.
2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】
只要说明且∠1=∠2，据此逐项判断即可．
【详解】
解：A、满足且∠1=∠2，能说明原命题是假命题，本选项符合题意；
B、，不满足，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、，满足但不满足∠1=∠2，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意；
D、，不满足，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了真假命题的知识，属于常考题型，举反例是判断命题真假的常用方法．
3．如图，点P在BC上，于点B，于点C，，其中，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵△ABP≌△PCD，
∴∠APB=∠D，AP=PD，AB=PC，∠A=∠CPD，
∴∠A+∠CPD=90°是错误的，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键．
4．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ）

A．75° B．60° C．65° D．55°
【答案】A
【分析】
首先根据三角形外角的性质得出的度数，然后利用即可求解．
【详解】
根据题意有，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角板中的度数问题，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．如图，已知MB=ND,∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（   ）

A．∠M=∠N B．AB=CD C．AM∥CN D．AM=CN
【答案】D
【分析】
A、在△ABM和△CDN 中由ASA条件可证△ABM≌△CDN，则A正确，
B、在△ABM和△CDN 中由SAS可证△ABM≌△CDN 则B正确，
C、AM∥CN，得∠A=∠C，在△ABM和△CDN 中AAS△ABM≌△CDN，则C正确，
D、只有在直角三角形中边边角才成立，则D不正确．
【详解】
A、在△ABM和△CDN 中，
∠M=∠N ，MB=ND，∠MBA=∠NDC，
△ABM≌△CDN （ASA），
则A正确；
B、在△ABM和△CDN 中，
MB=ND，∠MBA=∠NDC，AB=CD，
△ABM≌△CDN （SAS），
则B正确；
C、AM∥CN，得∠A=∠C，
在△ABM和△CDN 中，
∠A=∠C，∠MBA=∠NDC，MB=ND，
△ABM≌△CDN （AAS），
则C正确；
D、AM=CN，MB=ND,∠MBA=∠NDC≠90º，
则D不正确．
故选择：D．
【点睛】
本题考查在一边与一角的条件下，添加条件问题，关键是掌握三角形全等的判定方法，结合已知与添加的条件是否符合判定定理．
6．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
【详解】
解：A、当时，，故能说明命题“对于任何实数”是假命题；
B、当时，，不能说明命题“对于任何实数”是假命题；
C、当，，不能说明命题“对于任何实数”是假命题；
D、当时，，不能说明命题“对于任何实数”是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题的判断，解题的关键是将选项中的数逐一代入．
7．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（ ）．
A．， B．，
C． D．，
【答案】C
【分析】
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【详解】
解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项不符合；
B、不满足条件，故B选项不符合；
C、满足条件，不满足结论，故C选项符合；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项不符合．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的真假，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
8．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】
试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
考点：基本作图.
9．如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为(　　)

A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
【答案】B
【详解】
解：由题意知：OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，∴△AOB≌△A′OB′，∴A′B′=AB=9cm．故选B．
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
10．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
分析：
详解：如图,

∵AB⊥CD,CE⊥AD,
∴∠1=∠2,
又∵∠3=∠4,
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,
即∠A=∠C.
∵BF⊥AD,
∴∠CED=∠BFD=90°,
∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,ED=BF=b,
又∵EF=c,
∴AD=a+b-c.
故选:D.
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.
11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）

A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【详解】
试题分析：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE的面积等于,故答案选C．

考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．
12．如图，和都是等腰直角三角形，且，，O为AC中点若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为　　

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】
取AB的中点Q，连接DQ，先证得≌，得出，根据点到直线的距离可知当时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．
【详解】
解：如图，取AB的中点Q，连接DQ，

，
，
即，
，O为AC中点，
，
在和中，
，
≌，
，
点D在直线BC上运动，
当时，QD最小，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
等腰直角三角形，



线段OE的最小值为1
故选B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，证是解题关键．
13．下列命题中，真命题是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C．三角形三个内角中，至少有2个锐角
D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【分析】
利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A. 同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；
B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故错误，为假命题；
C. 三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；
D. 有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，
故选C.
【点睛】
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定义.
14．如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，AE⊥BD
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm，
故选B.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握计算公式.
16．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果则有AC∥DE；③如果，则有BC∥AD；④如果，必有．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据余角的概念和同角的余角相等判断①；根据平行线的判定定理判断②；根据平行线的判定定理判断③；根据②的结论和平行线的性质定理判断④．
【详解】
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，①正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，②正确；
∵∠2=30°，
∴∠1+∠2+∠3=150°，
又∵∠C=45°，
∴BC与AD不平行，③错误；
∵∠2=30°，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C，④正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理和性质定理，余角的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．
17．在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】
解：设三角形的第三边为x，则
9-4＜x＜4+9
即5＜x＜13，
∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
18．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【答案】C
【分析】
判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】
A．∵2＋3>4，∴能组成三角形，故A错误；
B．∵5＋7＞7，∴不能组成三角形，故B错误；
C．∵5＋6＜12，∴不能组成三角形，故C正确；
D．∵6＋8>10，∴能组成三角形，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（　　）

A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
【答案】A
【详解】
如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．

∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，
∵在△BCE中，BE＞BC-CE，
∴AB-AD＞CB-CD．
故选A．


二、填空题
20．如图，设、、是的外角，则____________．

【答案】360°
【分析】
利用三角形的外角和定理解答．
【详解】
解：∵三角形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型．
21．如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=__度．

【答案】56．
【详解】
解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，
∴∠NOE=∠FEO=28°，
∵OE平分∠MON，
∴∠NOE=∠EOF=28°，
∵∠MFE是△EOF的外角，
∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°
22．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．

【答案】4
【分析】
由全等三角形的判定条件可得结论.
【详解】
∵第1、2、3块不具备全等三角形的判定条件，
∴不能带它们去
∵第4块具有完整的两角及夹边，符合ASA，
∴带第4块去能配一块与原来一样大小的三角形
故填：4.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的几个判定定理是解题的关键.
23．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
【答案】
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
【详解】
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故

故答案为.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
24．在中，是边上的中线，已知，.则与的周长差为____.
【答案】2cm
【分析】
先根据三角形中线定义得到BD=CD，然后根据三角形周长定义求△ABD与△ACD的周长差即可．
【详解】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的周长差=AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD=AB﹣AC=7﹣5=2(cm)．

故答案为：2cm．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高．掌握三角形中线的定义是解答本题的关键．
25．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是__________________．

【答案】三角形的稳定性．
【分析】
根据三角形的稳定性进行解答．
【详解】
解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】
此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．
26．已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)

【答案】①②④
【分析】
易证△ABD≌△EBC,可得 可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得,即,根据可求得④正确.
【详解】
①BD为△ABC的角平分线,

在△ABD和△EBC中,

△ABD≌△EBC,
①正确;
②BD为△ABC的角平分线,,BD=BC,BE=BA,

△ABD≌△EBC


②正确;
③



为等腰三角形,
,
△ABD≌△EBC,


BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC,

③错误; ④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.
27．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，
其中正确的为__________（请填写结论前面的序号）．

【答案】（1）（2）（3）
【分析】
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
,
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
,
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故答案是: （1）（2）（3）．
【点睛】
考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
28．如图，四边形中，，，若且，则对角线长的最大值为__________．

【答案】5
【详解】
如图，在的右侧作等边三角形，连接．

∵，，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，，，
∴当、、共线时，的值最大，最大值为，
故答案是:．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题．

三、解答题
29．如图，点E在外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若，，试说明：的理由．

【答案】证明见详解．
【分析】
根据已知，利用三角形的内角和得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．
【详解】
∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠C=∠E；
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF
即：∠BAC=∠DAE．
又∵AC=AE，∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE．
【点睛】
此题考查三角形内角和及全等三角形的判定的理解及运用，准确识图，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键．
30．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，．

（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）5°；（2）120°
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角△ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；
（2）利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【详解】
解：（1）∵∠CAB=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°-50°-60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°，
（2）∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
31．如图：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE， 垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据DB⊥BC，CF⊥AE，得出∠D＝∠AEC，再结合∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，证明△DBC≌△ECA，即可得证；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA，可得CE=BD，根据BC=AC=12cm AE是BC的中线，即可得出，即可得出答案．
【详解】
证明：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA
∴CE=BD，
∵BC=AC=12cm AE是BC的中线，
∴，
∴BD=6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明△DBC≌△ECA解题关键．
32．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.

【答案】20米.
【详解】
试题分析：已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，再由垂直的定义可得∠CDO=90°，可得OB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，即可根据ASA定理判定△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质即可得CD=AB=20m．
试题解析：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=20（m）
考点：全等三角形的判定及性质.
33．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【答案】（1）65°（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.
【详解】
（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
34．为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

【答案】解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．

【详解】
易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
35．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE.

【答案】证明见解析.
【分析】
如图，延长CD到F，使DF=BC，连结EF，通过等边三角形的性质与判定得到△EBF为等边三角形，再通过边角边证得△EBC≌△EFD，则EC=ED.
【详解】
如图，延长CD到F，使DF=BC，连结EF，
∵AE=BD，
∴AE=CF，
∵△ABC为等边三角形，
∴BE=BF，∠B=60°，
∴△EBF为等边三角形，
∴∠F=60°，EF=EB，
在△EBC和△EFD中，
，
∴△EBC≌△EFD（SAS），
∴EC=ED.
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于作适当的辅助线构造全等三角形.
36．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

【答案】（1）AB＝CD（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D．
∴△AEB≌△DFC．
∴AB＝CD.
（2）∵AB＝CD，
AB＝CF，
∴CD＝CF，
∵∠B＝∠C=40°，
∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此题的关键．
37．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．

（1）求证：△DEF是等腰三角形
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数
（3）若∠DEF=∠A，FD=4，求△DEF的周长
【答案】（1）见解析；（2）65°；（3）12
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质等边对等角得∠1=∠2，由全等三角形判定SAS得△BDE≌△CEF，由全等三角形性质得DE=EF，根据等腰三角形的判定即可得证.
（2）由（1）知△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理∠BED+∠CEF=115°，在由三角形内角和定理即可求得答案.
（3）由（1）知△BDE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，又三角形内角和定理可得∠B=∠DEF，根据等边三角形的判定得△ABC为等边三角形，△DEF为等边三角形，从而求得答案.
【详解】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
在△BDE和△CEF中，
∵BD=CE∠B=∠CBE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF为等腰三角形.
（2）解： 由（1）知△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，
又∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠BED+∠BDE=115°，
即∠BED+∠CEF=115°，
∵∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF，
=180°-115°，
=65°.
（3）解： 由（1）知△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，∠BDE=∠CEF，
∵∠BED+∠BDE+∠B=180°，∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，
∴∠B=∠DEF，
∵∠A=∠DEF，AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠DEF=60°，
又∵DE=EF，
∴△DEF为等边三角形，
∵FD=4，
∴C△DEF=3×4=12.
【点睛】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,解题关键是熟记其判定和性质，并灵活运用.
38．如图，已知，，AC与BD交于点O，求证：
≌．
垂直平分AB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
根据SSS定理推出即可；
根据全等三角形的性质得出，在证明与全等，根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】
证明：在与中
，
≌，
≌，
，
在与中
，
≌，
，，
垂直平分AB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
39．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=BE﹣AD．
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，即可证明△ADC≌△CEB；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE，DC=EB，即可证明DE=AD﹣BE；
（3）与（1）的证明方法类似，证的△ADC≌△CEB，得出AD=CE，DC=EB，即可得出DE、AD、BE的等量关键.
【详解】
（1）∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE﹣DC=AD﹣EB；
（3）DE=BE﹣AD．
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC﹣CE=BE﹣AD．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质、直角三角形，关键是仔细观察图形得出线段的等量关系.
40．如图，已知，，，求证：.

【答案】证明见解析.
【分析】
利用SSS可证明△ABD≌△ACE，可得∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，根据三角形外角的性质即可得∠3=∠BAD+∠ABD，即可得结论.
【详解】
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，
∵∠3=∠BAD+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.
41．已知，如图，，，，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】
连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AD，根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【详解】
如图，连接AC、AD．
在△ABC和△AED中，∵，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC=AD．
∵CF=FD，
∴AF⊥CD(等腰三角形三线合一)．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解答本题的关键．
42．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．

【答案】（1）A'到BD的距离是1.2m；（2）A'到地面的距离是1m．
【分析】
（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．根据同角的余角相等证得∠2=∠3；再利用AAS证明△ACB≌△BFA'，根据全等三角形的性质即可得A'F=BC，根据BC=BD﹣CD求得BC的长，即可得A'F的长，从而求得A'到BD的距离；（2）作A'H⊥DE，垂足为H，可证得A'H=FD，根据A'H=BD﹣BF求得A'H的长，从而求得A'到地面的距离.
【详解】
（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．

∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°；
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F=BC，
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.8；
∴BC=BD﹣CD=3﹣1.8=1.2，
∴A'F=1.2，即A'到BD的距离是1.2m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF=AC=2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H=FD，
∴A'H=BD﹣BF=3﹣2=1，即A'到地面的距离是1m．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，作出辅助线，证明△ACB≌△BFA'是解决问题的关键.
43．（1）操作发现：如图①，D是等边边AB上一动点（点D与点A不重合），连接DC，以DC为边在DC下方作等边，连接你能发现线段AD与BE之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边边AB的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AD与BE在（1）中的结论是否仍然成立？

（3）深入探究：
Ⅰ如图③，当动点D在等边边AB上运动时点D与点A不重合，连接CD，以CD为边在DC下方、上方分别作等边和等边，连接AF，探究AF，BE与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ当动点D在边AB所在直线上运动时不含边AB上的点，其他作法与图③相同，I中的结论是否成立？若成立，请给出你的证明若不成立，请画出图并直接写出新结论．
【答案】（1）AD=BE，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）Ⅰ.AF+BE=AB，理由见解析；Ⅱ. BE-AF=AB，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
、先证明≌，同理得和全等，所以，，相加可得结论；
II、同理得：≌，≌，所以，，即可得解．
【详解】
解：，理由是：
如图

和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
猜想：，
理由是：如图

和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
、，理由是：
如图

和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
由知：，
；
II、如下图所示，I中的结论不成立，存在新的结论：，理由是：

同理得：≌，≌，
，，
，
．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
44．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.
【分析】
（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．
【详解】
解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．
（3）∠AFB=180°﹣α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路．
45．如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是　 　厘米/秒．（直接写出答案）

【答案】（1）①△BMN≌△CDM．理由见解析；②当t=秒或t=秒时，△BMN是直角三角形；（2）3.8或2.6．
【详解】
试题分析：①根据题意得CM=BN=6CM，所以BM=4CM=CD．根据“SAS”证明△BMN≌△CDM；
②设运动时间为t秒，分别表示CM和BN．分两种情况，运用特殊三角形的性质求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）点M与点N第一次相遇，有两种可能：I．点M运动速度快；Ⅱ．点N运动速度快．分别列方程求解．
试题解析：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：
∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，
∴CM=2×3=6（cm），
BN=2×3=6（cm），
BM=BC﹣CM=10﹣6=4（cm），
∴BN=CM，
∵CD=4（cm），
∴BM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△BMN和△CDM中，
BN=CM，∠B=∠C，BM=CD，
∴△BMN≌△CDM．（SAS）.
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当∠NMB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．
∴BN=2BM，
∴3t=2×（10﹣3t），
∴t=（秒）；
Ⅱ．当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．
∴BM=2BN，
∴10﹣3t=2×3t，
∴t=（秒）．
∴当t=秒或t=秒时，△BMN是直角三角形；
（2）分两种情况讨论：
I．若点M运动速度快，则 3×25﹣10=25VN，解得 VN=2.6；
Ⅱ．若点N运动速度快，则 25VN﹣20=3×25，解得 VN=3.8．
故答案为 3.8或2.6．
点睛：此题考查等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质及列方程求解动点问题，两次运用分类讨论的思想，难度较大．