专题04分式单元综合提优专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

专题04分式单元综合提优专练（解析版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2022·陕西九年级专题练习）方程 的解是（   ）

A．0 B．2 C．3 D．无解

【答案】D

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解答：

去分母得：1+2(x−3)=4−x，

去括号得：1+2x−6=4−x，

解得：x=3，

经检验x=3是增根，原分式方程无解．

故选D

【点睛】

本题考查解分式方程，解题关键是去分母和验根.

2．（2022·河北八年级月考）如果分式的值为0，那么的值为（  ）

A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0

【答案】B

【分析】

根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

【详解】

根据题意，得

|x|-1=0且x+1≠0，

解得，x=1．

故选B．

【点睛】

本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

3．（2022·河南）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

设原计划每天铺设钢轨米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务可列方程．

【详解】

设原计划每天铺设钢轨米，可得：，

故选A．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．

4．（2022·全国九年级专题练习）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可

【详解】

，

方程两边同乘以，得

，

移项及合并同类项，得

，

分式方程的解是非正数，，

，

解得，，

故选A．

【点睛】

此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值

5．（2022·浙江七年级专题练习）化简的结果是(    )

A．x+1 B． C．x-1 D．

【答案】A

【分析】

根据同分母分式相减，分母不变，将分子相减，再将分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可化简.

【详解】

解：原式=.

 故答案为A

【点睛】

此题考查分式的加减法，解题关键在于掌握运算法则.

二、填空题

6．（2018·南昌市第十九中学八年级期末）（2011贵州安顺，14，4分）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为________________．

【答案】

【分析】

本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案．

【详解】

解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得：

故答案为

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等量关系是本题的关键．

7．（2022·安徽九年级三模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．

【答案】1

【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．

【详解】

解：方程两边都乘，得

∵原方程有增根，

∴最简公分母，

解得，

当时，

故m的值是1，

故答案为1

【点睛】

本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

8．（2022·全国九年级专题练习）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为_____．

【答案】80

【分析】

设甲车的速度为，则乙车的速度为，根据乙车比甲车早30分钟到达B地列方程求解即可.

【详解】

设甲车的速度为，则乙车的速度为，

依题意，得，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

故答案为80.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要验根.

三、解答题

9．（2022·江苏九年级零模）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：

（1）大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

【答案】（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里

【分析】

（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；

（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．

【详解】

（1）设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得：

=++

解得：x=40．

经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时．

答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；

（2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得：

+=

解得：y=30．

答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．

10．（2022·广东九年级专题练习）已知T．

（1）化简T；

（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；

（2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．

【详解】

（1）T；

（2）由正方形的面积为9，得到a＝3，则T．

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（2022·广水市教学研究室八年级期末）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．

（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

【答案】（1）甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；

（2）单独租用一台车，租用乙车合算．

【分析】

（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率得出等式方程求出即可．

（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．

【详解】

解：（1）∴甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：

，

解得：x=18，则2x=36．

经检验得出：x=18是原方程的解．

答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；

（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：

12a+12（a﹣200）=4800，

解得：a=300．

则乙车每一趟的费用是：300﹣200=100（元），

单独租用甲车总费用是：18×300=5400（元），

单独租用乙车总费用是：36×100=3600（元）．

∵3600＜5400，故单独租用一台车，租用乙车合算．

12．（2022·陕西八年级期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

【答案】（1）120件；（2）150元．

【详解】

试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.

试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件.

由题意可得：，解得，经检验是原方程的根.

（2）设每件衬衫的标价至少是元.

由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元）

由题意可得：

解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元.

考点：1、分式方程的应用    2、一元一次不等式的应用.

13．（2022·全国）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.

（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

【答案】（1）;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.

【分析】

（1）“？”当成5，解分式方程即可，

（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.

【详解】

（1）方程两边同时乘以得

解得 

经检验，是原分式方程的解.

（2）设？为，

方程两边同时乘以得

由于是原分式方程的增根，

所以把代入上面的等式得

所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.

【点睛】

本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14．（2020·广西八年级期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分，如下：

（1）求代数式A，并将其化简；

（2）原代数式的值能等于吗？请说明理由．

【答案】（1）A＝；（2）不能，理由见解析.

【分析】

（1）根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；

（2）令原代数式的值为-1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．

【详解】

（1），

（2）不能，

理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，则，即x＝0，

但是，当x＝0时，原代数式中的除数，原代数式无意义．

所以原代数式的值不能等于﹣1．

【点睛】

考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.

15．（2022·广东九年级专题练习）先化简，再将代入求值.

【答案】1.

【分析】

直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．

【详解】

原式

将代入得：

【点睛】

此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

16．（2022·全国九年级专题练习）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元

（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？

（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

【答案】（1）一个A品牌的足球需50元，一个B品牌的足球需80元；（2）该中学此次最多可购买30个B品牌足球

【分析】

（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；

（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于a的不等式，解不等式即可解决问题．

【详解】

解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得：

，解得：x＝50，

经检验：x＝50是原方程的解，x+30＝80．

答：一个A品牌的足球需50元，一个B品牌的足球需80元．

（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球（50﹣a）个，由题意得：

50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240，解得a≤30．

∵a是整数，∴a最大等于30，

答：该中学此次最多可购买30个B品牌足球．

【点睛】

本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的方程和不等式是解答的关键．

17．（2022·全国九年级专题练习）已知关于x的分式方程，

(1)若方程的增根为x=1，求m的值

(2)若方程有增根，求m的值

(3)若方程无解，求m的值．

【答案】（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5

【详解】

试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；

（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；

（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；

（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.

试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得

2（x+2）+mx=x-1，

整理得（m+1）x=﹣5，

（1）∵x=1是分式方程的增根，

∴1+m=﹣5，

解得：m=﹣6；

（2）∵原分式方程有增根，

∴（x+2）（x﹣1）=0，

解得：x=﹣2或x=1，

当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；

（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；

当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，

综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．

【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.

18．（2022·全国八年级课时练习）若a，b为实数，且，求3a﹣b的值．

【答案】2

【分析】

根据题意可得，解方程组可得a,b,再代入求值.

【详解】

解：∵，

∴，

解得，

∴3a﹣b=6﹣4=2．

故3a﹣b的值是2．

【点睛】

本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.

19．（2022·全国八年级课时练习）若a＞0，M=，N=．

（1）当a=3时，计算M与N的值；

（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．

【答案】（1）M＝，N＝；（2）M＜N；证明见解析.

【分析】

（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；

（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．

【详解】

（1）当a=3时，M，N；

（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：

M﹣N．

∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴，∴M﹣N＜0，∴M＜N；

方法二：猜想：M＜N．理由如下：

．

∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴，∴，∴M＜N．

【点睛】

本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．

20．（2022·全国九年级专题练习）若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．

【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.

【详解】

试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.

试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，

所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．

原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.

当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；

当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，

解得m＝12.

综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.

当x＝3时，m＝6；

当x＝－3时，m＝12.

点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．