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专题13.4 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题13.4 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），共5页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26113" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26113 \h 1
\l "_Tc32436" 【类型一 共顶点的等边三角形】 PAGEREF _Tc32436 \h 1
\l "_Tc6692" 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 PAGEREF _Tc6692 \h 11
\l "_Tc23528" 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 PAGEREF _Tc23528 \h 22
【典型例题】
【类型一 共顶点的等边三角形】
例题：（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．
求证：(1)；
(2)为等边三角形；
【变式训练】
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．则以下结论：①；②；③；④．正确的有．
2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，、、三点在一直线上，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点．
(1)吗？吗？请说明理由．
(2)如图2，若、、不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明．
(3)在图1中，若连接、，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）
3．（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边中，点，分别在，边上，．
(1)若将图1中的沿射线的方向平移到的位置，如图2，则的度数为______；
(2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
(3)若将图，2中的绕点逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗?（不需说明理由）
②延长交于点，则的度数为______．
4．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．
(1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 ．
(2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】
例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数并证明：．
2．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，点是直线上的一动点（点不与点重合），连接．
(1)在图1中，当点在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点在边的反向延长线上时，求出之问存在的数共关系及直线与直线的位置关系．
3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明．
(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求：
①的度数；
②若，，则线段的长是多少？
4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接．
(1)观察发现：图1中的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点顺时针转动任意角度（转动角度在到之间），再连接的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【类型三 共顶点的一般等腰三角形】
例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．
(1)试说明：；
(2)求的度数．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．
(1)如图1，当时，
①、的形状是____________；
②求证：．
(2)若，
①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
2.（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，F为中点，分别以、为底边向外作等腰三角形和等腰三角形，记，．
(1)若，如图，求证：，；
(2)当，不等于时，若，
①在图中补全图形；
②试判断，的数量关系，并证明．
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26113" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26113 \h 1
\l "_Tc32436" 【类型一 共顶点的等边三角形】 PAGEREF _Tc32436 \h 1
\l "_Tc6692" 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 PAGEREF _Tc6692 \h 11
\l "_Tc23528" 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 PAGEREF _Tc23528 \h 22
【典型例题】
【类型一 共顶点的等边三角形】
例题：（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．
求证：(1)；
(2)为等边三角形；
【变式训练】
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．则以下结论：①；②；③；④．正确的有．
2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，、、三点在一直线上，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点．
(1)吗？吗？请说明理由．
(2)如图2，若、、不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明．
(3)在图1中，若连接、，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）
3．（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图1，在等边中，点，分别在，边上，．
(1)若将图1中的沿射线的方向平移到的位置，如图2，则的度数为______；
(2)请在图2中找出一对全等的三角形，并说明理由．
(3)若将图，2中的绕点逆时针旋转到图3所示的位置，其余条件不变．
①（2）中的结论还成立吗?（不需说明理由）
②延长交于点，则的度数为______．
4．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．
(1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 ．
(2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】
例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数并证明：．
2．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，点是直线上的一动点（点不与点重合），连接．
(1)在图1中，当点在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点在边的反向延长线上时，求出之问存在的数共关系及直线与直线的位置关系．
3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明．
(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求：
①的度数；
②若，，则线段的长是多少？
4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接．
(1)观察发现：图1中的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点顺时针转动任意角度（转动角度在到之间），再连接的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【类型三 共顶点的一般等腰三角形】
例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．
(1)试说明：；
(2)求的度数．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．
(1)如图1，当时，
①、的形状是____________；
②求证：．
(2)若，
①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
2.（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，F为中点，分别以、为底边向外作等腰三角形和等腰三角形，记，．
(1)若，如图，求证：，；
(2)当，不等于时，若，
①在图中补全图形；
②试判断，的数量关系，并证明．
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