专题02 三角形的初步认识（难点）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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1．尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线；III、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：（ ）

A．①—Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ.④—ⅢB．①—Ⅳ，②—Ⅲ，③—Ⅱ.④—Ⅰ
C．①—Ⅳ，②—Ⅳ，③—Ⅲ.④—ⅠD．①—Ⅳ，②—Ⅰ，③—Ⅱ.④—Ⅲ
【答案】D
【分析】根据题中描述，数形结合，由基本尺规作图操作即可得到答案．
【解析】解：由题意可知，
Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；
Ⅳ、作角的平分线；

即正确的配对是：①﹣Ⅳ；②﹣Ⅰ；③﹣Ⅱ；④﹣Ⅲ.；
故选：D．
【点睛】本题考查基本尺规作图，熟练掌握常见尺规作图方法是解决问题的关键．
2．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（ ）

A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可．
【解析】解：过点作交于点，作点关于的对称点，如图：

∵点到射线的距离为，
∴，
∵垂直平分，
∴，
当，即点在线段上（不含端点）或点在线段上（不含端点），
不能唯一确定；
当时，即点与点重合，
可唯一确定为直角三角形；
当时，即点与点重合或点与点重合，
∵点与点重合时不能构成三角形，故能唯一确定；
当时，即点在点的右侧，故能唯一确定；
综上，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是或．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对B．甲、乙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】与的边平行，画图有两种情况，和，
当时，，
当时，，结果有两个答案．
【解析】解：①如图，与的边平行

沿折叠得到，
又
②如图，与的边平行，

沿折叠得到，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键．
4．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）

①；②；③；④．
A．①②④B．①②③C．①②D．①②③④
【答案】A
【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【解析】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴
，
∴，故①正确，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，

∴，，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确，
综上正确的有：①②④．
故选A
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出．
【解析】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故①正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故②正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴．
故③正确；
∵，，
∴，．
∴．
∵平分，
∴，
∴．
故④正确；
综上可知，正确的有①②③④，共4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．
6．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ）

A．②③B．②④C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确．
【解析】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，

∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴， 如图，在上取一点H，使，

∵是的角平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于H，

∵和的平分线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．
7．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误；
【解析】解：如图，作于E，于F．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，于E，于F，
∴．
在和中，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，故①正确．
∴定值，故③正确．
∴定值，故②正确．
故选：A．
【点睛】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；
②与不能得出全等的结论，无法证明；
③若，无法推出；
④利用三角形面积的公式即可证明；
⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明．
【解析】①∵
∴，
∵内角和外角的平分线交于点
∴，
∴，
∴，
∴
∴，故①正确．
②与只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推出，故②错误
③若，则，则，无法推出，故③错误
④的面积为乘以点到线段的距离乘以
的面积为乘以点到线段的距离乘以
点到线段的距离与点到线段的距离相等
∴，故④正确
⑤过点E作于N，于D，于M，如图，
∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴，
∴平分，
设，
，
，
则，
，
∵，
∴，
∴∘，
∵，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
故选C
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解．
9．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】易证，从而推得①正确；
利用及三角形内角和与对顶角，可证，但现有条件不能证明平分，故②错误；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得，则③正确；
证明，则，可得出结论④正确；
利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确．
【解析】解：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交的对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，
现有条件不能证明平分，故②错误；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
即，故③正确；
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴，
故④正确．
∵，，，
∴，，，
∴．
故⑤正确．
综上可知，正确的有①③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②③④C．①②D．①③④
【答案】D
【分析】过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PM=PN=PI，易证PH平分∠BGE，即∠P HM=∠PHI．设∠PEH=a，∠PAB=，由外角的性质可得∠APE=a-，∠AHE=2a-2，所以∠APE=∠AHE；故①正确；由外角的性质可得∠PHE=90°-a+，由三角形内角和可得，∠HPE=180°-a-（90°-a+）=90°-，所以∠PHE∠HPE，即PEHE；故②不正确；在射线AC上截取CK=EC，延长BC到点L，使得CL=FC，连接BK，LK，易证△EFC≌△KLC，所以EF=LK，∠L=∠EFC=90°，易证FG=BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF=∠KBC，GE=BK，由由外角的性质可知，∠BAC=∠BKC，所以AB=BK=GE，故③正确；因为S△PAB=·AB·PM，S△PGE=GE·PI，且AB=CE，PM=PI，所以S△PAB=S△PGE，故④正确．
【解析】解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，
∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，
∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，
∴PM＝PN＝PI，
∴∠PMH＝∠PIH，
∵PH＝PH，
∴∠PHM＝∠PHI，
∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），
∴∠PHM＝∠PHI，
设∠PEH＝α，∠PAB＝β，
∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，
对于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝α﹣β，
对于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，
∴∠AHE＝2α﹣2β，
∴∠APE＝∠AHE；故①正确；
∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，
∴∠PHE＝90°﹣α+β，
∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，
∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；
在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，
∵∠ECF＝∠LCK，
∴△EFC≌△KLC（ASS），
∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，
∵BG＝2FC，FC＝CL，
∴BG＝FL，
∴FG＝BL，
∴△GEF≌△BKL（SAS），
∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，
∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，
∴∠BAC＝∠BKC，
∴AB＝BK，
∴GE＝AB，故③正确；
∵S△PAB＝•AB•PM，S△PGE＝GE•PI，
又∵AB＝GE，PM＝PI，
∴S△PAB＝S△PGE．故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键．
二、填空题
11．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 ．
【答案】/61度
【分析】三角形内角和定理，求出，由作图可知，垂直平分线段，得到进而得到，根据，计算即可．
【解析】解：，，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ；

【答案】
【分析】利用初中物理的反射角等于入射角以及三角形的内角和进行角度转化以及求解．
【解析】解：在平面镜反射处作法线，根据反射定理得：


本题答案：
【点睛】本题是一道跨学科知识，主要是数学学科与物理学科的综合，主要考了三角形内角和，利用反射定理得到角等是解题关键．
13．如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，把分成几个小三角形，再根据线段比，用，表示小三角形面积，由面积和即可求解．
【解析】如图，连接，令、、、的面积分别为、、、，

∵，，
∴，，，，
∴，，
整理得：，，
∵，，
解得：，，，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据线段比，求出小三角形面积，充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系．
14．如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】过点作，根据平行线性质推出，，所以，由平分，平分，，进而得到，再由三角形内角和即可求出的度数．
【解析】解：如图，过点作，

，
，
，，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
15．如图，在的边,上取点M，N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ．

【答案】10
【分析】过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F，过点P作，垂足为G，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解析】解：过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F，过点P作，垂足为G，连接，

∵P是外角平分线的交点，
∴，
∵，的面积是2，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是8，
∴的面积的面积的面积，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．下列结论中：；；；，其中正确的有

【答案】①②③
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质及三角形三边关系判断②③；根据全等三角形的性质及平行线间的距离相等及三角形面积公式判断④．
【解析】解：在中，∵，
∴，
又∵、分别平分，
∴，
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴（），
∴，，，故②正确；
在和中，
∵，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴．故③正确；
连接，，

∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵

故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
三、解答题
17．如图直线与相交于点O，点A在射线上，点B在射线上连接，的平分线与外角的平分线所在直线相交于点C．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)若，则________(结果用含α的代数表示)；
(3)如图②，若点E在射线上一点，连接为的角平分线.
①随着点A、B、E的移动，与存在什么样的数量关系，请说明理由．
②过点F作交于点K，则三个角之间是否存在某种数量关系，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①互补；②
【分析】（1）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的外角定理解题即可；
（2）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的外角定理解题即可；
（3）①利用角平分线的定义得到，，，，然后利用三角形的内角和和外角定理表示的度数和的度数得到结论；②利用①中结论，再利用平行线的性质解题即可．
【解析】（1）解：∵的平分线与外角的平分线所在直线相交于点C，
∴，，
∴；
（2）∵的平分线与外角的平分线所在直线相交于点C，
∴，，
∴；
故答案为：；
（3）①互补；理由为：
设，
∴，
∵的平分线与外角的平分线所在直线相交于点C，
∴，，
∴；
∵为的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
②，理由为：
由①可知，
∴，
即
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
18．在中，，三条内角的平分线交于点O．

(1)填空：如图1，若，则的大小为 ；
(2)点D在、边上运动．
①如图2，当点D在上时，连接，若．求证：；
②如图3，的延长线交于点E，当点D在边上运动（不与点E重合）时，过点D作，垂足为点P，请直接写出、、之间的数量关系．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②当点D在上时，，当点D在上时， ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理计算，即可得出结果；
（2）①由平分，平分，可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明结论； ②分两种情况讨论：当点D在上时，利用角平分线性质和三角形外角的性质，进行计算可得，当点D在上时，利用角平分线性质和三角形外角的性质，进行计算可得．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
（2）①证明：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
②解：如图，当点D在上时，

∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
如图，当点D在上时，

∵平分，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握这些定理和定义并会熟练运用是解题的关键．
19．如图，点、点分别在边，上，，，的平分线交于点．

(1)求证：；
(2)如图，如果的平分线与交于点，，求的度数．
(3)如图，如果点是边上的一个动点（不与、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)不变，．
【分析】（）根据，得到， 再利用角平分线的性质，即可解答；
（）根据，，得到，利用外角的性质得到，再根据平分，平分，得到，得到，利用三角形内角和为，；
（）不变，根据，，即可解答．
【解析】（1）如图，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，设与交于点，

∵，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
（3）不变，如图3，

理由如下：∵， ，，
∴，
同理，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．
20．小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
如图，在中，射线交于点D，点E是线段上的任意一点，过点E作交直线于点F，直线与射线交于点G．

(1)如图1，若，，，，则______°；
(2)如图2，若，，，则______°；
(3)如图3，若，，则探索与之间的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，在（3）的条件下，若点E在线段上运动（此时G在外部），或在线段的延长线运动（此时G在内部），请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)(点E在线段上运动)；(点E在线段的延长线上运动)（选一种作答即可）
【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形的外角的定义与性质即可作答；
（2）根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答；
（3）由，，可得，，根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答；
（4）分别将点E在线段上运动（此时G在外部）的图形画出，再根据根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（3）∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（4）点E在线段上运动（此时G在外部），如图，

∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
点E在线段的延长线运动（此时G在内部），如图，

∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义与性质等知识，由，，得到，，是解答本题的关键．
21．（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 ；则中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即；
（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．
【解析】解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至，使，连接，

，，，
，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
22．以的、为边作和，且，，与相交于，．

(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）；
(3)如图，连接，直接写出与的数量关系是______ ．
【答案】(1)40°
(2)
(3)
【分析】（1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（2）由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解．
【解析】（1）解：，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图2所示：

由（1）可得：，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，过点作于，于，如图3所示：

，
，，
，
，
又，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
23．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．

(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证：
(3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)8
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：8；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，

∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点E，点M，点，三点共线时，最大值为12，最小值为6，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．