人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课后测评

基本不等式求最值的6种常用方法

一、基本不等式常用的结论

1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

推论：（）

2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

推论：（，）；

3、

二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、利用基本不等式求最值的方法

1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系

2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况

类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

类型2：分母为多项式时

方法1：观察法  适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；

方法2：待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为与，分子为，

设

∴，解得：

4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

题型一 直接法求最值

【例1】已知．则的最小值为   

A．6            B．5           C．4          D．3

【变式1-1】已知正数满足 ，则的最大值（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-2】已知，，若，则的最大值为（    ）．

A．        B．        C．        D．1

【变式1-3】已知，则的最小值是（    ）

A．1        B．4        C．7        D．

【变式1-4】已知，，且满足，则的最大值为__________.

【变式1-5】已知实数m，n满足，则的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-6】若，，，则的最小值为（    ）

A．8        B．10        C．4        D．6

【变式1-7】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

题型二 配凑法求最值

【例2-1】若函数在处取最小值，则（  ）

A．           B．         C．          D．

【例2-2】设，求函数的最大值。

【变式2-1】已知，则的最大值为________．

【变式2-2】已知实数，则的最小值是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2-3】设，则的最小值是（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【变式2-4】设，则的最小值为（    ）

A．        B．        C．4        D．

题型三 消元法求最值

【例3】已知正实数，满足，则的最大值为______.

【变式3-1】已知正数x，y满足，则的最小值是（    ）

A．1        B．3        C．6        D．12

【变式3-2】设正实数、、满足，则的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-3】设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-4】已知，则的最小值是（    ）

A．14        B．        C．8        D．

题型四 乘“1”法求最值

【例4】已知，，，求的最小值.

【变式4-1】已知，，且，则最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-2】若正数，满足，则的最小值为   

A．        B．        C．5        D．6

【变式4-3】已知，且，则的最大值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式4-4】已知正数a，b满足，则的最小值等于（    ）

A．4        B．        C．8        D．9

题型五 简化分母换元法求最值

【例5】已知，，且，则的最小值为（    ）

A．9        B．10        C．11        D．

【变式5-1】设为正数，且，则的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-2】已知正实数满足，则的最小值是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-3】设均为正实数，且，则的最小值为（    ）

A．8        B．16        C．9        D．6

【变式5-4】实数a，b满足，，，则的最小值是（    ）

A．4        B．6        C．        D．

【变式5-5】已知，，且，则的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

题型六 构造不等式法求最值

【例6】若实数满足，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-1】已知，且，则的最小值为（    ）

A．4        B．6        C．9        D．12

【变式6-2】若，，且，则的最小值为（    ）

A．9        B．16        C．49        D．81

【变式6-3】若实数，满足，则的取值范围为______．