数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后复习题

不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法

一、分式不等式的解法

解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。

设A、B均为含x的多项式

（1）

（2）

（3）

（4）

【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。

二、高次不等式的解法

如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：

1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；

2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；

3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）

4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）

5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；

若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间

三、含绝对值不等式

1、绝对值的代数意义

正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

2、绝对值的几何意义

一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 

3、两个数的差的绝对值的几何意义

表示在数轴上，数和数之间的距离．

4、绝对值不等式：

（1）的解集是，如图1．

（2）的解集是，如图2．

（3）．

（4）或

题型一 解分式不等式

【例1】不等式的解集为（   ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】原不等式可化为，解得．故选：D．

【变式1-1】不等式的解集为（   ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】∵，解得：或，

∴不等式的解集为，故选：D.

【变式1-2】解下列分式不等式：

（1）≤1；    （2）<0.

【答案】（1）{或}；（2）{或}.

【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.

此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.

∴原不等式的解集为 {或}

（2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0，

解得x<－或x>1，

∴原不等式的解集为或}.

【变式1-3】解不等式：

【答案】

【解析】通分整理，原不等式化为：，

它等价于：，得到：或且

【变式1-4】不等式的解集是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为，所以且，

所以且，所以且，

所以不等式的解集为，故选：C

题型二 解高次不等式

【例2】不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】不等式，

由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为.

故答案为：.

【变式2-1】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.

【答案】.

【解析】根据不等式标根

所以原不等式的解为.

故答案为：.

【变式2-2】不等式的解集为（    ）

A．或        B．或

C．或        D．或

【答案】A

【解析】不等式，化为：，

由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.

【变式2-3】解下列分式不等式：

（1）;（2）;   （3）; （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1），所以，

所以，

即，解得，

故原不等式的解集为；

（2），所以

等价于，

解得或或，

故原不等式的解集为

（3），所以，

等价于，

解得或，

故原不等式的解集为；

（4），所以，即，

即,因为恒成立，

所以原不等式等价于，

即，解得或，

故原不等式的解集为

【变式2-4】关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ）

A．或         B．或

C．或        D．或

【答案】A

【解析】因为关于x的不等式的解集为

，

则原式化为：

所以不等式的解为或.故选：A.

题型三 解绝对值不等式

【例3】解不等式：（1）；   （2）    （3）

【答案】（1）  （2）   （3）

【变式3-1】解不等式：（1）；（2）；（3）；

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）由题意，，解得，

所以原不等式的解集为．

（2）由题意，或，解得或，

所以原不等式的解集为．

（3）由题意，，解得，

所以原不等式的解集为．

【变式3-2】不等式的解集是___________

【答案】

【解析】不等式可化为，

∴，或；

解之得：或，

即不等式的解集是.

故答案为：.

【变式3-3】不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】不等式.故选：D.

【变式3-4】解不等式：

【答案】

【解析】方法一：（零点分段法）

（1）当时，原不等式变为：，

解得，所以；

（2）当时，原不等式变为：，

解得，所以；

综上所述，原不等式的解集为．

方法二：或，解得或，

所以原不等式的解集为．

【变式3-5】不等式的解集为      

【答案】

【解析】当时，，故；

当时，恒成立，故；

当时，，故

综上：

故不等式的解集为：