初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性同步测试题

2022-2023学年苏科版八年级数学上《2.4 线段、角的轴对称性》

同步强化训练（二）

                      （时间：90分钟   满分：120分）

一．选择题(每小题3分  共30分)

1．如图，．平分，于点，于点，则的度数为（   ）．

A．       B．       C．       D．

   第1题图            第2题图            第3题图        第4题图

2．如图所示，点在的角平分线上，，在上，，在上，且过点且与 垂直，过点与垂直，则下列说法正确的是（    ）．

A．      B．    C．   D．

3．如图，，平分交于点，若，，则点到的距离为（    ）．

A．       B．    C．       D．不能确定

4．如图所示，在中，，是的平分线，交于，若，，则的面积是（    ）．

A．       B．    C．       D．

5．如图，平分，，，垂足分别为、．下列结论中不一定成立的是（    ）．

A．      B．平分   C．      D．垂直平分

  第5题图         第6题图            第7题图           第8题图

6．如图，在中，，是角平分线，于点，则下列结论中，错误的是（    ）．

A．   B．平分   C．平分   D．

7．如图所示，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）．

A．一处     B．二处      C．三处       D．四处

8. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

9. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则AD与DE的关系为(　　)

A. AD>DE    B. AD=DE    C. AD<DE    D. 不确定

第9题图          第10题图         第11题图              第12题图

10．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　　）

A．AD+BC=AB   B．∠AOB=90° C．与∠CBO互余的角有2个  D．点O是CD的中点

二．填空题(每小题3分  共30分)

11．如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为、，则下列四个结论中：①上任意一点到、两点的距离相等；②上任意一点到、的距离相等；③，；④．正确的有______个．

12．如图，是中的平分线，于点，交 于点，，，，则长是__________．

13. 如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．

第13题图          第14题图           第15题图          第16题图

14．如图，在▱ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧两弧交于点F；③连接BF，延长线交AD于点G．若∠AGB=30°，则∠C=_______°．

15．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE的长为_________．

16．如图：在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BD=6，则CD=__3__．

17．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．

第17题图       第18题图         第19题图        第20题图  

18．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______．

19. 如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝90cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　　      ．

20．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON；

（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP．

则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据___________．

解：有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线．故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线

三．解答题（60分）

21．（5分）已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．

22．（6分）如图，，，于，于点，试说明：．

23. （8分）如图，，平分且交于点，是的中点，且．试说明：（）平分．（）．

24．（8分）如图，，平分，将直角三角板的顶点在射线上移动，两直角边分别与、相交于点、．问与相等吗？试说明理由．

25. （8分）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合．

(1)要使D恰好为AB的中点，还应添加什么条件?(请写出三种不同的添加条件)

(2)选择(1)中的某一个添加条件作为题目的补充条件，试说明其使D为AB中点的理由．

26．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

27．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

（1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数；

（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

28．（9分）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：OA⊥OC；

（3）求证：AB+CD＝AC．

教师样卷

一．选择题(每小题3分  共30分)

1．如图，．平分，于点，于点，则的度数为（ D  ）．

A．       B．       C．       D．

   第1题图            第2题图            第3题图        第4题图

2．如图所示，点在的角平分线上，，在上，，在上，且过点且与 垂直，过点与垂直，则下列说法正确的是（  B  ）．

A．      B．    C．   D．

3．如图，，平分交于点，若，，则点到的距离为（  C  ）．

A．       B．    C．       D．不能确定

4．如图所示，在中，，是的平分线，交于，若，，则的面积是（  B  ）．

A．       B．    C．       D．

5．如图，平分，，，垂足分别为、．下列结论中不一定成立的是（  D  ）．

A．      B．平分   C．      D．垂直平分

  第5题图         第6题图            第7题图           第8题图

6．如图，在中，，是角平分线，于点，则下列结论中，错误的是（  B  ）．

A．   B．平分   C．平分   D．

7．如图所示，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（  D  ）．

A．一处     B．二处      C．三处       D．四处

8. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　C　）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

9. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则AD与DE的关系为(　D　)

A. AD>DE    B. AD=DE    C. AD<DE    D. 不确定

第9题图          第10题图         第11题图              第12题图

10．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是（　C　）

A．AD+BC=AB   B．∠AOB=90° C．与∠CBO互余的角有2个  D．点O是CD的中点

解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE，∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，∴∠AOB=×180°=90°，故B选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；∵OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选：C．

二．填空题(每小题3分  共30分)

11．如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为、，则下列四个结论中：①上任意一点到、两点的距离相等；②上任意一点到、的距离相等；③，；④．正确的有__4____个．

12．如图，是中的平分线，于点，交 于点，，，，则长是_____3_____．

13. 如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于_____5______．

解：过作于点，是边上高，平分，，

，故答案为：5．

第13题图          第14题图           第15题图          第16题图

14．如图，在▱ABCD中按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于点E；②分别以A，E为圆心，大于AE的长为半径作弧两弧交于点F；③连接BF，延长线交AD于点G．若∠AGB=30°，则∠C=__120_____°．

解：由题意：∠GBA=∠GBE，∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBE=30°，∴∠ABC=60°，∵AB∥CD，∴∠C=180°﹣∠ABC=120°，故答案为120

15．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△ABC=9，则DE的长为__________．

解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC，即×5×DE+×6×DE=9，解得，DE=，故答案为：．

16．如图：在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BD=6，则CD=__3__．

解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴AD=BD=6，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=AD=3，故答案为：3．

17．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是__42______．

解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．

第17题图       第18题图         第19题图        第20题图  

18．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于___4____．

解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴F、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4．

19. 如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝90cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　 6cm　      ．

20．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON；

（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP．

则射线OP为∠AOB的平分线．请写出小林的画法的依据__斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线．_________．

解：有画法得OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，则可判定Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的平分线．故答案为斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线

三．解答题（60分）

21．（5分）已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．

解：如图所示，P是AB和AC的垂直平分线的交点

22．（6分）如图，，，于，于点，试说明：．

解：连接，∵，，，∴≌，∴，∵，，∴．

23. （8分）如图，，平分且交于点，是的中点，且．试说明：（）平分．（）．

解：（）∵，，，∴≌，∴．又∵是中点，∴垂直平分，∴，∴平分．

（）由（）知，∴．

24．（8分）如图，，平分，将直角三角板的顶点在射线上移动，两直角边分别与、相交于点、．问与相等吗？试说明理由．

解：，理由如下：过点作，，、为垂足，又∵平分，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，

在和中，，∴≌，∴．

25. （8分）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合．

(1)要使D恰好为AB的中点，还应添加什么条件?(请写出三种不同的添加条件)

(2)选择(1)中的某一个添加条件作为题目的补充条件，试说明其使D为AB中点的理由．

解：(1)①∠A＝30°，②BE＝AE，③∠BED＝∠AED．

(2)补充∠A＝30°这一条件．证明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°．又BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝×60°＝30°．∴∠ABE＝∠A，∴△ABE是等腰三角形．又∠BDE＝∠C＝90°，∴DE⊥AB，∴点D为AB的中点．

26．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF=EB；

（2）AF+BE=AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴AC=AE，∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE．

27．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

（1）若∠BAC=54°，求∠EDA的度数；

（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【答案】（1）解：∵∠BAC=54°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=27°，∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，∴∠EDA=90°﹣27°=63°．

（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．

28．（9分）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：OA⊥OC；

（3）求证：AB+CD＝AC．

证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，

∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．