数学八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性优秀精练

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2.4线段、角的轴对称性同步练习苏科版初中数学八年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交所在的直线于点、，且，则的长度为

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：且；；；，正确的个数是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知的周长是，和分别平分和，过点作的垂线交于点，且，则的面积是

A.
B.
C.
D.

5. 已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，，，，点，，分别是垂足，且，，，则点到三边，和的距离分别等于

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是

A.
B.
C. 与互余的角有个
D. 点是的中点
 

7. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；：：，其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是

A.
B.
C.
D.

9. 在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是

A.
B.
C.
D. 与的大小关系不确定

11. 如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是

A.
B.
C.
D. 三条高的比为
 

12. 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在中，，，，平分，则          ．
14. 如图，在中，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、若，的周长为，则的周长为________．
15. 如图，中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接若，，则的周长为______．

16. 如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，
    已知，，点为上一点，若满足，则的长度为______．
17. 在中，、的垂直平分线分别交于点、若，则          ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 两个城镇、与一条公路，一条河流的位置如图所示某人要修建一座避暑山庄，要求该山庄到、两处的距离必须相等，到和的距离也必须相等，且在的内部，请画出该山庄的位置不写作法，保留作图痕迹．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边、所在直线的垂线，垂足分别为、，，作射线求证：平分．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，，分别是，中点，，垂足为，，垂足为，与交于点．
    求证：；
    猜想与的数量关系，并证明．
     

21. 如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点，，的周长为．
    求中边的长度；
    若，求的度数．

22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点，的坐标分别为，．
    在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，标注原点以及轴、轴；
    作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
    点是轴上的动点，在图中找出使周长最小时的点，直接写出点的坐标是：______．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，点，表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．要求不写作法，但保留作图痕迹

24. 尺规作图：如图，求作一点，是点到的两边距离相等，且到、两点的距离也相等；
    如图，在四边形的对角线上找一点，使．

25. 如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
    求证：平分；
    求证：．
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后分两种情况讨论求解．
【解答】
解：、的垂直平分线分别交于点、，
，，
，
，，
当与无重合时，如图，

，
当与有重合时，如图，
，
综上所述，或．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】解：作于，如图，
是中的角平分线，，，
，
，
，
，
故选：．
作于，如图，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，但并不能说明，不能说明是的中位线，故错；
题中没有说，那么中线也就不可能是顶角的平分线，故错；
易知，关于，对称．那么四边形是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故对；
，，，故对．
正确的有两个，故选B．
根据对折的性质可得，，，，据此和已知条件判断图中的相等关系．
翻折前后对应线段相等，对应角相等．
 

4.【答案】
 

【解析】解：连接，过作于，于，

和分别平分和，，，
，，
的周长是，
，
的面积



，
故选：．
连接，过作于，于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出是解此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：
连接，
点为的三条角平分线的交点，，，，点、、分别是垂足，
，
又是公共边，
≌，
，
同理，，，
，，，，，
是正方形，
设，则，，，
，即，
解得．
则．
故选：．
由角平分线的性质易得，，，，设，则，，，所以，解答即可．
此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：点，分别是，平分线上的点，
，，
，
，故A选项结论正确；
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，故B选项结论正确；
与互余的角有，，，共个，故C选项结论错误；
，
点是的中点，故D选项结论正确．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积有关知识，由在中，，平分，于，可得，继而可得，又由角平分线的性质，证得，由等角的余角相等，可证得，由三角形的面积公式，可证得：：．
【解答】
解：在中，，平分，于，
，
故正确；
，，
，
即平分，
故正确；
，
，
故正确；
，，
，
故正确；
，，
，
：：，
故正确．
正确的有个．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】解：如图，作于．

平分，，，
，
，
与射线上某一点连线的长度的最小值为，
故选：．
如图，作于证明，根据垂线段最短即可解决问题．
本题考查角平分线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
又平分，，
由角平分线的性质得，
故选：．
根据角平分线的性质即可求得．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，取，
对角线平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故选A．
取，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：过分别作，，，垂足分别为，，．

平分，且，，
，
同理可得，
，
，
：：：：，
：：：：，
故选B．
本题主要考查了三角形的面积，三角形的角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是关键过分别作，，，垂足分别为，，，首先由角平分线的性质得到，再由三角形面积公式及已知得到：：：：，继而得到：：：：．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，邻补角定义及折叠的性质．
本题需要找出图中的各角之间的关系列出等式即可求解．
【解答】
由题意可知，
在四边形中，，
，

故选B．

13.【答案】
 

【解析】 如图，过作于，于，

平分，

．

设，

则，，

．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
则的周长，
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．过点作于点，分点在线段上，点在射线上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得，即可求，由题意可证≌，可求的长．
【解答】
解：如图：过点作于点，
平分，，，
，
在和中，，
≌，
，
，，
；
若点在线段上，
在和中，，
≌


若点在射线上，
在和中，，
≌，
，
；
故答案为或．

17.【答案】
 

【解析】略
 

18.【答案】解：如图，点就是所要求作的山庄的位置，

【解析】是线段的垂直平分线与的平分线的交点．
 

19.【答案】证明：如图，连接、．

点在的垂直平分线上，
．
，，
．
在和中，

．

．
又，，
点在的平分线上，
即平分．

【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质及角平分线的性质定理的应用，关键是根据线段的垂直平分线的性质得出再利用直角三角形的全等判定和性质证明，再根据角平分线的性质定理证明即可．
 

20.【答案】证明：连接．
点是中点且于点，
是线段的垂直平分线，
，
同理，
．

猜想：．
证明：由得，
是等边三角形，

在中，，
在中，，
在中，，
又，
，
，
．
 

【解析】连接利用线段从垂直平分线的性质即可证明．
想办法证明，即可解决问题．
本题考查线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：的中垂线交于，的中垂线交于，
，，
则的周长，
，

，
，
，，
，，
，，
，
．
 

【解析】证明的周长即可解决问题．
求出即可解决问题．
本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】
 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示：

如图即为所求，由图可知，．

如图所示，点即为所求点．
故答案为．
根据，两点的坐标确定坐标系即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求．
本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：如图所示：点，即为所求．
 

【解析】此题主要考查了应用设计与作图，用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，则这条线段的垂直平分线上；到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
作的角平分线与线段的垂直平分线的交点即所求仓库的位置．
 

24.【答案】解：如图中，点即为所求．
如图中，点即为所求．

 

【解析】作线段的垂直平分线，的角平分线，交于点，点即为所求．
作点关于的对称点，作直线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】证明：过点作于，
，平分，
，
点为的中点，
，
，
在和中，

≌，
，
平分；
在和中，，
≌，
，
≌，
，
，
．
 

【解析】过点作于，根据角平分线的性质可得，求出，然后证明≌可得，即可证明平分；
利用“”证明和全等，可得，同理，然后求出，再根据垂直的定义即可证明．
本题考查了角平分线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识；作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．