初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性同步训练题

2.4 线段、角的轴对称性

一．选择题

1．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC、BC两边高线的交点处 

B．在AC、BC两边中线的交点处 

C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

2．下列说法中正确的是（　　）

A．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 

B．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 

C．三角形三条中线的交点到三个顶点的距离相等 

D．三角形三条中线的交点到三边的距离相等

3．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①②③

4．到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形（　　）

A．三条中线的交点 B．三条高的交点 

C．三边中垂线的交点 D．三条角平分线的交点

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

二．填空题

6．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40，其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　   　．

7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　   　．

8．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E，G，若∠B+∠C＝70°，则∠EAG＝　   　．

9．已知：如图，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是15，那么BC＝　   　．

10．如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，且∠CBD：∠ABD＝4：3，那么∠A＝　   　度．

11．在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为　   　．（用含α的代数式表示）

12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为　   　．

13． 如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为　　．

三．解答题

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．

15．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．

16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．

17．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．

18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，

①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．

②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1． C．

2． B．

3． D．

4． C．

5． B．

二．填空题

6． 2：3：4．

7． 3．

8． 40°．

9． 5．

10． 27．

11． 2α﹣180°或180°﹣2α．

12． 3．

13．130°

三．解答题

14．证明：∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠C＝90°，

∵AM⊥BC，

∴∠AMB＝90°，

∴∠ABC+∠BAM＝90°，

∴∠C＝∠BAM，

∵AD平分∠MAC，

∴∠MAD＝∠CAD，

∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，

∵∠ADB＝∠C+∠CAD，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵BE平分∠ABC，

∴BF⊥AD，AF＝FD，

即线段BF垂直平分线段AD．

15．证明：∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，

∴∠ODC+∠OCD＝90°，

∴∠DOC＝90°，

∴∠DOC＝∠BOC，

又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，

∴△DCO≌△BCO（ASA）

∴CB＝CD，

∴OB＝OD，

∴CE是BD的垂直平分线，

∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，

∴EC平分∠BED，

∴点O到EB与ED的距离相等．

16．解：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE＝DF，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE＝AF，

又∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥EF．

17．解：如图，过点P作PM⊥AD、PN⊥BC、PQ⊥AE，垂足分别为M、N、Q，

∵∠ABC、∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P．

∴PM＝PN，PQ＝PN，

∴PM＝PQ，

∴P在∠A的平分线上．

18．解：①相等，

过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠BAC＝15°，

∴∠CDA＝75°，

∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，

∴∠NFE＝15°，

∴∠NEF＝75°＝∠MDF，

在△DMF和△ENF中，

，

∴△DMF≌△ENF（AAS），

∴FE＝FD；

②成立．

过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，

∵F是角平分线交点，

∴BF也是角平分线，

∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，

∴四边形BNFM是圆内接四边形，

∵∠ABC＝60°，

∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，

∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，

∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°．

又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM＝∠NFE，

在△DMF和△ENF中，

∴△DMF≌△ENF（ASA），

∴FE＝FD．