专题21.2 解一元二次方程（一）（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册同步考点+专项训练（人教版）

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专题21.2  解一元二次方程（一）（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；2、理解并掌握用配方法解一元二次方程；3、理解并掌握用公式法解一元二次方程； 【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（3）方法是根据平方根的意义开平方 考点2 解一元二次方程-配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结： 考点3 解一元二次方程-公式法：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式 【典例分析】【考点1解一元二次方程-直接平方】【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k的值是（　　）A．2 B．4 C．﹣2 D．±2【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（　　）A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22 C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣1，则m的值为（　　）A．2 B．﹣1 C．0 D．1 【变式1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：（1）（2x﹣1）2＝﹣8；（2）64（x+1）2＝81．    【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0．    【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．    【考点2 解一元二次方程-配方法】【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【变式3-1】（2021秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（　　）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（　　）A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15【例4】（2022•德城区校级开学）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为（　　）A．40 B．16 C．16或20 D．20【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）方程x2﹣7x+10＝0的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（　　）A．9 B．10 C．12 D．9或12【变式4-2】（2021秋•砚山县期末）矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（　　）A． B．12 C． D．或【变式4-3】（2021秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（　　）A．3 B． C．3或 D．5或【例5】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：（1）x2+8x﹣20＝0．  （2）    （3）2x2﹣4x﹣16＝0．      【变式5-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．    【变式5-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．     【变式5-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0     【考点3解一元二次方程-公式法】 【例6】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0                 （2）6x（x+1）＝5x﹣1     【变式6-1】（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．    【变式6-2】（2021春•东平县期中）解方程：x2+5＝2x（用公式法解）；     【变式6-3】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．    专题21.2 解一元二次方程（知识解读）【直击考点】 【学习目标】4、理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；5、理解并掌握用配方法解一元二次方程；6、理解并掌握用公式法解一元二次方程； 【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数（4）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（5）方法是根据平方根的意义开平方 考点2 解一元二次方程-配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结： 考点3 解一元二次方程-公式法：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式 【典例分析】【考点1解一元二次方程-直接平方】【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k的值是（　　）A．2 B．4 C．﹣2 D．±2【答案】B【解答】解：把x＝2代入x2﹣k＝0得4﹣k＝0，解得k＝4．故选：B．【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（　　）A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22 C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22【答案】A【解答】解：∵（x﹣22）2＝0，∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，解得：x1＝x2＝22，故选：A．【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣1，则m的值为（　　）A．2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣m＝0得1﹣m＝0，解得m＝1．故选：D．【变式1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0【答案】B【解答】解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．故选：B．【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：（1）（2x﹣1）2＝﹣8；（2）64（x+1）2＝81．【答案】（1） 无解（2）x1＝，x2＝﹣【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝﹣8＜0，∴方程无实数根；（2）∵64（x+1）2＝81，∴（x+1）2＝，∴x+1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣【解答】解：2（x﹣1）2﹣＝0，移项，得2（x﹣1）2＝，（x﹣1）2＝，开方，得x﹣1＝，解得：x1＝，x2＝﹣．【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝6，x2＝﹣4．【解答】解：∵（x﹣1）2﹣25＝0，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，则x1＝6，x2＝﹣4．【考点2 解一元二次方程-配方法】【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【答案】C【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．故选：C．【变式3-1】（2021秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（　　）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【答案】B【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．故选：B．【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故选：D．【变式3-3】（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（　　）A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故选：A．【例4】（2022•德城区校级开学）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为（　　）A．40 B．16 C．16或20 D．20【答案】D【解答】解：方程x2﹣9x+20＝0，分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，所以x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝4，x2＝5，当边长为4时，4+4＝8，不能构成三角形，舍去；当边长为5时，5+5＞8，此时菱形的周长为20，则该菱形的周长为20．故选：D．【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）方程x2﹣7x+10＝0的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（　　）A．9 B．10 C．12 D．9或12【答案】C【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，所以x1＝5，x2＝2，因为2+2＝4＜5，所以等腰三角形的腰长为5，底边长为2，所以等腰三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．【变式4-2】（2021秋•砚山县期末）矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（　　）A． B．12 C． D．或【答案】D【解答】解：方程x2﹣7x+10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，所以x﹣2＝0或x﹣5＝0，解得：x＝2或x＝5，当x＝2，即AB＝2时，根据勾股定理得：BC＝＝4，此时矩形ABCD面积为8；当x＝5，即AB＝5时，根据勾股定理得：BC＝＝，此时矩形ABCD面积为5．故选：D．【变式4-3】（2021秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（　　）A．3 B． C．3或 D．5或【答案】D【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，则x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得x1＝4，x2＝5，若4、5均为直角边长度，则斜边长度为＝，若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，故选：D．【例5】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：（1）x2+8x﹣20＝0．  （2）    （3）2x2﹣4x﹣16＝0．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣10． （2）． （3）x1＝4，x2＝﹣2【解答】解：（1）移项得：x2+8x＝20，配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36，开方得：x+4＝±6，解得：x1＝2，x2＝﹣10．（2）移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：．（3）化简得：x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2．【变式5-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣．【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，开方得x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣． 【变式5-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x1＝+4，x2＝﹣+4【解答】解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．【变式5-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0【答案】x1＝1，x2＝﹣．【解答】解：3x2+4x﹣7＝0，3x2+4x＝7，x2+x＝，x2+x+（）2＝+（）2，（x+）2＝，x+＝±，x1＝1，x2＝﹣．【考点3解一元二次方程-公式法】 【例6】用公式法解下列方程：（1）2x2+5x﹣1＝0                 （2）6x（x+1）＝5x﹣1【答案】（1）x1＝，x2＝（2）没有实数解【解答】解：（1）2x2+5x﹣1＝0，∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）6x（x+1）＝5x﹣1，整理得6x2+x+1＝0，∵a＝6，b＝1，c＝1，∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，方程没有实数解．【变式6-1】（2021秋•船山区校级期末）用公式法解方程：2x2﹣1＝4x．【答案】．【解答】解：整理，得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴，∴．【变式6-2】（2021春•东平县期中）解方程：x2+5＝2x（用公式法解）；【答案】x1＝x2＝；【解答】解：x2+5＝2x，x2﹣2x+5＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝5，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×5＝0，x＝＝，x1＝x2＝；【变式6-3】（2021秋•新兴县期中）用公式法解方程：5x2＝7﹣2x．【答案】x1＝1，x2＝﹣．【解答】解：5x2+2x﹣7＝0，∵a＝5，b＝2，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝1，x2＝﹣．