第四章 指数函数与对数函数（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

第四章  指数函数与对数函数专题详解

一．指数与指数函数

（一）指数

1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。

注意：(1)

(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时，

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义，规定：

正数的正分数指数幂的意义：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）

（2）

（3）

题型一：根式的化简求值

例1：下列运算中正确的是（       ）

A． B． C． D．

举一反三

1.式子的计算结果为（       ）

A． B． C． D．

2．化简________.

题型二：指数幂的运算

例2：计算：___．

举一反三

1．（多选）下列化简结果中正确的有（m、n均为正数）（       ）

A． B．

C． D．

2．计算：

(1)；

(2).

题型三：分数指数幂与根式的互化

例3：已知，为正数，化简_______．

举一反三

1．（     ）

A．1 B． C． D．

2.若，则等于（       ）

A． B． C． D．

题型四：指数幂的化简、求值

例4：化简：，并求当时的值.

举一反三

已知，则=__________.

二 指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．

2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：

3.与指数函数相关的定义域及值域问题

（1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式.

（2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。

4.指数式的大小比较

（1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较

（2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较.

（3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较.

题型一：指数函数的概念

例5：函数是指数函数，则（       ）

A．或 B． C． D．且

举一反三

若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．

题型二：指数函数的图像

例6：在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ）

A．  B． C． D．

举一反三

如图所示，函数的图像是（       ）

A．B．C．D．

题型三：指数函数的定义域

例7：函数的定义域为___________

举一反三

1.已知函数的定义域为，则_________．

2．函数的定义域为 _________.

题型四：指数函数的值域

例8：函数的值域为_________________.

举一反三

函数且的值域是，则实数 ____.

题型五：指数函数的单调性

例9：不等式恒成立，则的取值范围是_________．

举一反三

1.求函数的单调区间___________.

2．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

题型六：指数函数过定点问题

例10：函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

举一反三

函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.

题型七：指数函数中的参数问题

例11：已知函数为奇函数，则方程的解是________．

举一反三

已知的最小值为2，则m的取值范围为______________

题型八：指数函数实际应用

例12：企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（       ）

A．40% B．50% C．64% D．81%

举一反三

我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（       ）（参考数据：）

A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h

二．对数与对数函数

对数

1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：

（ a— 底数， N— 真数，— 对数式）

说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0  3. 注意对数的书写格式．

2、两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数,   ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ．

3、对数式与指数式的互化

对数式        指数式

对数底数← a → 幂底数

对数← x → 指数

真数← N → 幂

结论：（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1,   loga1=0  特别地， lg10=1,  lg1=0 ,  lne=1,  ln1=0

(3) 对数恒等式：

例1：1．已知，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，则__________．

举一反三

1．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．方程的解是（       ）

A．1 B．2 C．e D．3

对数的运算性质

如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0  有：

1、      两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

2 、         两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3 、         一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

说明:

1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……

2) 有时可逆向运用公式

3) 真数的取值必须是(0,＋∞)

4) 特别注意：

例2：1．计算：（       ）

A．10 B．1 C．2 D．

2．计算：（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．计算：___________．

4．计算

(1)

(2).

举一反三

1．计算：________.

2．计算=________.

3．若，则__________

4．计算下列各题：

(1)已知，求的值；

(2)求的值.

换底公式

利用换底公式推导下面的结论

① ②③

例3：1．已知，则下列能化简为的是（       ）

A． B． C． D．

2．______．（用数字作答）

举一反三

1．计算：_____

2．计算：等于___________.

 对数函数

1.对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数.

2.对数函数的图像和性质。

3.指对数函数性质比较

4.反函数：

一般地,设A,B分别为函数y=的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一也是一个函数(即对任意一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数y=的反函数,记作.在中，y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成的形式.

指数函数(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。

注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x       指数型函数： y=kax

 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。

（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。

4.与对数函数有关的函数的定义域

（1）对数函数的定义域为(0,+∞)。

（2）形如的函数,定义域由来确定。

（3）形如的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义。

5.对数式的大小比较：

（1）若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.

（2）若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论(分0<a<l,a>1).

（3）若底数不同、真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以画出对数函数的图象,再进行比较。

（4）若底数与真数都不同,则常借助0,1等中间值进行比较。

题型一：对数函数的概念

例4：下列函数中，是对数函数的是（       ）

A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1  C．  D．y＝log5x

举一反三

若函数的反函数的图像经过点，则=_______．

题型二：对数函数的定义域

例5：函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

举一反三

1．函数的定义域是_______．

2．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．

题型三：对数函数的值域

例6：已知函数，则的值域为（       ）

A． B． C． D．

举一反三

1．函数的值域是________.

2．若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.

题型四：对数函数的图像

例7：已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

举一反三

函数与的大致图像是（       ）

A．B．C．D．

题型五：对数函数的单调性

例8：1．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

2．已知，则实数a的取值范围为______．

举一反三

1．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

2．函数的单调递减区间为_____

题型六：反函数

例9：已知函数，它的反函数为，则_______．

举一反三

已知，分别是方程，的根，则（       ）

A．1 B．2 C． D．

题型七：对数函数的应用

例10：人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（       ）倍．(参考数据：)

A． B． C． D．

举一反三

（多选）某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（       ）

A．函数的定义域为，且是偶函数

B．对于任意的，都有

C．对于任意的a，，都有

D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足

题型八：对数函数的过定点

例11：（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．

举一反三

已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．

题型九：对数函数的参数问题

例12：已知，，，，，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

举一反三

若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____．

题型十：指数函数与对数函数的综合

例13：1.若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(       )

A． B． C． D．

2.（多选）已知函数，若，则实数的值可能是（       ）

A． B． C． D．

举一反三

1．春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（       ）

A．17天 B．15天 C．12天 D．10天

2．（多选）已知函数，若，则的所有可能值为（   ）

A．1 B． C．10 D．